Номер 145, страница 47 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Свойства прямоугольного треугольника. Вариант 2. Упражнения - номер 145, страница 47.

Учебник 2017.

145. В прямоугольном треугольнике $DBC$ ($\angle C = 90^\circ$) провели высоту $CK$. Найдите угол $BCK$, если $DB = 14$ см, $BC = 7$ см.

Учебник 2021.

145. В прямоугольном треугольнике DBC $(\angle C = 90^\circ)$ провели высоту CK. Найдите угол BCK, если $DB = 14$ см, $BC = 7$ см.

Решение.

Решение 2 (2021).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DBC$, в котором по условию $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $DB = 14$ см, а катет $BC = 7$ см.

Сравним длину катета $BC$ с длиной гипотенузы $DB$. Мы видим, что катет $BC$ ровно в два раза короче гипотенузы $DB$, так как $7 \text{ см} = \frac{14 \text{ см}}{2}$.

В геометрии существует свойство: если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен $30^\circ$. В нашем треугольнике напротив катета $BC$ лежит угол $\angle BDC$. Следовательно, $\angle BDC = 30^\circ$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна $90^\circ$. Для треугольника $DBC$ это означает, что $\angle BDC + \angle DBC = 90^\circ$.

Теперь мы можем найти величину второго острого угла, $\angle DBC$:

$\angle DBC = 90^\circ - \angle BDC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Далее рассмотрим треугольник $CKB$. По условию, $CK$ — это высота, проведенная к гипотенузе $DB$. Это означает, что $CK$ перпендикулярна $DB$, и, следовательно, $\angle CKB = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $CKB$ также является прямоугольным.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике $CKB$ также равна $90^\circ$. Это углы $\angle BCK$ и $\angle KBC$.

$\angle BCK + \angle KBC = 90^\circ$.

Угол $\angle KBC$ является тем же углом, что и $\angle DBC$, поэтому $\angle KBC = 60^\circ$.

Наконец, найдем искомый угол $\angle BCK$:

$\angle BCK = 90^\circ - \angle KBC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.