Номер 144, страница 47 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

144. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$.

На катете $AC$ отметили такую точку $E$, что $\angle BEC = 60^\circ$.

Найдите $AC$, если $EC = 8$ см.

144. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$.

На катете $AC$ отметили такую точку $E$, что $\angle BEC = 60^\circ$.

Найдите $AC$, если $EC = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BEC$. По условию задачи, $\angle C = 90^\circ$ и $\angle BEC = 60^\circ$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому третий угол этого треугольника, $\angle EBC$, равен:

$\angle EBC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

В прямоугольном треугольнике $BEC$ известен катет $EC = 8$ см. Мы можем найти гипотенузу $BE$, используя определение косинуса угла, которое гласит, что косинус острого угла в прямоугольном треугольнике есть отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$\cos(\angle BEC) = \frac{EC}{BE}$

Подставим известные значения:

$\cos(60^\circ) = \frac{8}{BE}$

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2} = \frac{8}{BE}$

Из этого уравнения находим длину $BE$:

$BE = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Теперь перейдем к рассмотрению треугольника $ABE$. Найдем его углы. Угол $\angle BAE$ совпадает с углом $\angle A$ исходного треугольника $ABC$, то есть $\angle BAE = 30^\circ$. Угол $\angle AEB$ является смежным с углом $\angle BEC$, так как точки $A, E, C$ лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно:

$\angle AEB = 180^\circ - \angle BEC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Зная два угла треугольника $ABE$, найдем третий угол $\angle ABE$:

$\angle ABE = 180^\circ - \angle BAE - \angle AEB = 180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ$

Мы видим, что в треугольнике $ABE$ два угла равны: $\angle BAE = \angle ABE = 30^\circ$. Это означает, что треугольник $ABE$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, также равны. Таким образом, $AE = BE$.

Поскольку мы ранее вычислили, что $BE = 16$ см, то и $AE = 16$ см.

Искомая длина катета $AC$ состоит из суммы длин отрезков $AE$ и $EC$, так как точка $E$ лежит на $AC$.

$AC = AE + EC$

$AC = 16 \text{ см} + 8 \text{ см} = 24 \text{ см}$

Ответ: 24 см.