Номер 140, страница 46 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

140. Стороны прямоугольного треугольника и высота, проведённая к гипотенузе, равны 36 см, 45 см, 60 см и 75 см. Укажите длины катетов этого треугольника, гипотенузы и высоты, проведённой к гипотенузе.

Рис. 122

140. Стороны прямоугольного треугольника и высота, проведённая к гипотенузе, равны 36 см, 45 см, 60 см и 75 см.

Укажите длины катетов этого треугольника, гипотенузы и высоты, проведённой к гипотенузе.

Рис. 122

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, гипотенуза — $c$, а высота, проведённая к гипотенузе, — $h$. В задаче даны четыре значения длин: 36 см, 45 см, 60 см и 75 см, которые соответствуют этим четырём отрезкам.

Для определения, какое значение какому элементу треугольника соответствует, воспользуемся следующими свойствами прямоугольного треугольника:
1. Гипотенуза ($c$) — самая длинная сторона треугольника.
2. Высота ($h$), проведённая к гипотенузе, короче каждого из катетов. Следовательно, из всех четырёх отрезков ($a, b, c, h$) высота $h$ будет самой короткой.
3. Для сторон должна выполняться теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
4. Произведение катетов равно произведению гипотенузы на её высоту (это следует из формулы площади треугольника): $a \cdot b = c \cdot h$.

Из набора чисел {36, 45, 60, 75}, основываясь на первых двух свойствах, можно сделать однозначные выводы:
• Самое большое значение, 75 см, — это длина гипотенузы ($c=75$ см).
• Самое маленькое значение, 36 см, — это длина высоты ($h=36$ см).
• Оставшиеся значения, 45 см и 60 см, — это длины катетов ($a=45$ см, $b=60$ см).

Теперь необходимо проверить, выполняются ли для этих значений ключевые равенства (свойства 3 и 4).
Проверка теоремы Пифагора:
Подставляем значения $a, b, c$ в формулу $a^2 + b^2 = c^2$:
$45^2 + 60^2 = 75^2$
$2025 + 3600 = 5625$
$5625 = 5625$
Равенство верно.
Проверка равенства $a \cdot b = c \cdot h$:
Подставляем найденные значения:
$45 \cdot 60 = 75 \cdot 36$
$2700 = 2700$
Это равенство также верно.

Поскольку обе проверки подтвердили наши выводы, мы можем дать окончательный ответ.

Длины катетов этого треугольника
Ответ: 45 см и 60 см.

Гипотенуза
Ответ: 75 см.

Высота, проведённая к гипотенузе
Ответ: 36 см.