Номер 133, страница 45 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Из точки $O$, принадлежащей углу $ACB$, проведены перпендикуляры $OD$ и $OE$ к его сторонам. Найдите угол $ACB$, если $\angle OCB = 38^\circ$ и $OD = OE$.

133. Из точки $O$, принадлежащей углу $\angle ACB$, проведены перпендикуляры $OD$ и $OE$ к его сторонам. Найдите угол $\angle ACB$, если $\angle OCB = 38^{\circ}$ и $OD = OE$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ΔODC$ и $ΔOEC$. В этих треугольниках:

• $∠ODC = 90°$ и $∠OEC = 90°$, так как по условию $OD$ и $OE$ — перпендикуляры к сторонам угла $AC$ и $BC$ соответственно.
• $OC$ — общая гипотенуза.
• $OD = OE$ — по условию.

Следовательно, прямоугольные треугольники $ΔODC$ и $ΔOEC$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие углы равны, то есть $∠OCD = ∠OCE$.

По условию задачи $∠OCB = 38°$, что соответствует углу $∠OCE$. Таким образом, $∠OCE = 38°$.

Так как $∠OCD = ∠OCE$, то $∠OCD = 38°$.

Угол $∠ACB$ состоит из двух углов: $∠OCD$ и $∠OCE$.

$∠ACB = ∠OCD + ∠OCE = 38° + 38° = 76°$.

Также можно воспользоваться свойством биссектрисы угла: точка, равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Так как $OD = OE$ (расстояния от точки $O$ до сторон угла), то луч $CO$ является биссектрисой угла $∠ACB$.

По определению биссектрисы, $∠ACO = ∠BCO$.

Нам дано, что $∠OCB = 38°$, следовательно $∠ACO$ также равен $38°$.

Тогда весь угол $∠ACB = ∠ACO + ∠OCB = 38° + 38° = 76°$.

Ответ: $76°$.