Номер 126, страница 45 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Существует ли треугольник $ABC$, в котором $\angle B = 44^{\circ}$, $\angle C = 85^{\circ}$, $AB = 11$ см, $AC = 12$ см?

126. Существует ли треугольник $ABC$, в котором $\angle B = 44^\circ$, $\angle C = 85^\circ$, $AB = 11$ см, $AC = 12$ см?

Для того чтобы определить, существует ли треугольник с заданными параметрами, необходимо проверить, выполняются ли для него основные свойства треугольников. Одно из ключевых свойств связывает величины углов и длины противолежащих им сторон: в любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против меньшего угла — меньшая сторона.

В нашем случае даны следующие параметры для треугольника $ABC$:

Угол $\angle B = 44^\circ$
Угол $\angle C = 85^\circ$
Сторона $AB = 11$ см
Сторона $AC = 12$ см

Сторона $AC$ лежит напротив угла $\angle B$, а сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle C$.

Сравним углы $\angle C$ и $\angle B$:

$85^\circ > 44^\circ$, следовательно, $\angle C > \angle B$.

Согласно свойству треугольника, сторона, лежащая напротив большего угла $\angle C$, должна быть длиннее стороны, лежащей напротив меньшего угла $\angle B$. Это означает, что должно выполняться неравенство $AB > AC$.

Теперь сравним длины сторон, данные в условии задачи:

$AB = 11$ см, а $AC = 12$ см.

Получаем, что $11 < 12$, то есть $AB < AC$.

Возникло противоречие: из сравнения углов следует, что $AB$ должна быть больше $AC$, а по условию задачи $AB$ оказывается меньше $AC$. Такое невозможно.

Также можно проверить это с помощью теоремы синусов, которая гласит:

$\frac{AC}{\sin \angle B} = \frac{AB}{\sin \angle C}$

Подставим известные значения:

$\frac{12}{\sin 44^\circ} = \frac{11}{\sin 85^\circ}$

Так как в интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$ функция синуса возрастает, то $\sin 85^\circ > \sin 44^\circ$. Мы делим меньшее число (11) на большее число ($\sin 85^\circ$), а большее число (12) на меньшее число ($\sin 44^\circ$). Очевидно, что левая часть равенства будет больше правой, то есть равенство не выполняется.

$\frac{12}{\sin 44^\circ} \approx \frac{12}{0.6947} \approx 17.27$

$\frac{11}{\sin 85^\circ} \approx \frac{11}{0.9962} \approx 11.04$

$17.27 \neq 11.04$

Нарушение теоремы синусов подтверждает, что треугольник с такими параметрами не существует.

Ответ: нет, такой треугольник не существует.