Номер 119, страница 44 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. Один из углов треугольника равен $110^\circ$. Высота и биссектриса, проведённые из вершины этого угла, образуют угол, равный $30^\circ$. Найдите неизвестные углы треугольника.

119. Один из углов треугольника равен $110^\circ$. Высота и биссектриса, проведённые из вершины этого угла, образуют угол, равный $30^\circ$. Найдите неизвестные углы треугольника.

Обозначим данный треугольник как $ \triangle ABC $, где $ \angle A = 110° $. Пусть $ AH $ — высота, а $ AL $ — биссектриса, проведённые из вершины $ A $. По условию, угол между ними $ \angle HAL = 30° $.

Сумма углов треугольника равна $ 180° $, следовательно, сумма двух других углов: $ \angle B + \angle C = 180° - \angle A = 180° - 110° = 70° $.

Биссектриса $ AL $ делит угол $ A $ пополам, поэтому: $ \angle CAL = \angle BAL = \frac{110°}{2} = 55° $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle ACH $ (так как $ AH $ - высота, $ \angle AHC = 90° $). Сумма острых углов в нём равна $ 90° $, откуда: $ \angle CAH = 90° - \angle C $.

Угол между высотой и биссектрисой $ \angle HAL $ может быть найден как разность углов, которые они образуют с одной из сторон. В зависимости от соотношения углов $ \angle B $ и $ \angle C $ высота может оказаться по разные стороны от биссектрисы. Предположим, что высота $ AH $ лежит между биссектрисой $ AL $ и стороной $ AC $. Тогда: $ \angle HAL = \angle CAL - \angle CAH $ Подставим известные значения и полученные выражения: $ 30° = 55° - (90° - \angle C) $ $ 30° = 55° - 90° + \angle C $ $ 30° = -35° + \angle C $ $ \angle C = 30° + 35° = 65° $

Теперь найдём второй неизвестный угол $ \angle B $ из соотношения $ \angle B + \angle C = 70° $: $ \angle B = 70° - \angle C = 70° - 65° = 5° $.

Если бы высота $ AH $ лежала по другую сторону от биссектрисы (между стороной $AB$ и биссектрисой $AL$), расчёты привели бы к результату $ \angle B = 65° $ и $ \angle C = 5° $. В обоих случаях искомые углы одни и те же.

Ответ: неизвестные углы треугольника равны $ 5° $ и $ 65° $.