Номер 117, страница 44 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

117. Один из углов, образованных при пересечении биссектрис двух углов равнобедренного треугольника, равен $134^\circ$. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача?

117. Один из углов, образованных при пересечении биссектрис двух углов равнобедренного треугольника, равен 134°. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача?

Пусть дан равнобедренный треугольник. Его углы можно обозначить как $\alpha$, $\alpha$ и $\beta$, где $\alpha$ — углы при основании, а $\beta$ — угол при вершине. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $2\alpha + \beta = 180^\circ$.При пересечении двух прямых (в данном случае биссектрис) образуются две пары вертикальных углов. Один из этих углов по условию равен $134^\circ$. Это тупой угол. Смежный с ним угол будет равен $180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$. Это острый угол.Рассмотрим различные случаи расположения биссектрис.

Случай 1: Пересечение биссектрис двух внутренних углов при основании
Пусть биссектрисы проведены из углов при основании $\alpha$. Они пересекаются в точке $O$, образуя вместе с основанием треугольника новый равнобедренный треугольник. Углы при основании этого нового треугольника равны $\frac{\alpha}{2}$. Угол при вершине $O$ (обозначим его $\theta_O$) равен $180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}) = 180^\circ - \alpha$.Этот угол $\theta_O$ является одним из углов, образованных при пересечении биссектрис. Он должен быть равен либо $134^\circ$, либо $46^\circ$.1. Если $\theta_O = 134^\circ$:$134^\circ = 180^\circ - \alpha \implies \alpha = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$.Углы при основании равны $46^\circ$. Тогда угол при вершине $\beta = 180^\circ - 2 \cdot 46^\circ = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$.Получаем треугольник с углами $46^\circ, 46^\circ, 88^\circ$.2. Если $\theta_O = 46^\circ$:$46^\circ = 180^\circ - \alpha \implies \alpha = 180^\circ - 46^\circ = 134^\circ$.Сумма двух углов при основании $2\alpha = 2 \cdot 134^\circ = 268^\circ$, что больше $180^\circ$. Такой треугольник невозможен.В этом случае есть только одно решение.
Ответ: Углы треугольника равны $46^\circ, 46^\circ, 88^\circ$.

Случай 2: Пересечение биссектрис внутреннего угла при основании и внутреннего угла при вершине
Пусть биссектрисы проведены из угла при основании $\alpha$ и угла при вершине $\beta$. Они пересекаются в точке $O$. В треугольнике, образованном двумя вершинами и точкой $O$, углы равны $\frac{\alpha}{2}$, $\frac{\beta}{2}$ и угол при вершине $O$, $\theta_O$.Сумма углов этого треугольника: $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \theta_O = 180^\circ$.1. Если $\theta_O = 134^\circ$:$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ \implies \alpha + \beta = 92^\circ$.Получаем систему уравнений:$\begin{cases}\alpha + \beta = 92^\circ \\2\alpha + \beta = 180^\circ\end{cases}$Вычитая первое уравнение из второго, получаем: $\alpha = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$.Тогда $\beta = 92^\circ - 88^\circ = 4^\circ$.Получаем треугольник с углами $88^\circ, 88^\circ, 4^\circ$.2. Если $\theta_O = 46^\circ$:$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 180^\circ - 46^\circ = 134^\circ \implies \alpha + \beta = 268^\circ$.Сумма двух углов треугольника не может превышать $180^\circ$. Такое решение невозможно.В этом случае также есть только одно решение.
Ответ: Углы треугольника равны $88^\circ, 88^\circ, 4^\circ$.

Случай 3: Пересечение биссектрисы внутреннего и внешнего углов
В условии задачи не уточнено, что биссектрисы должны быть внутренними. Рассмотрим случай пересечения биссектрисы внутреннего угла при основании и биссектрисы внешнего угла при другом основании.Пусть углы треугольника равны $\alpha, \alpha, \beta$. Угол, образованный биссектрисой внутреннего угла при одном основании и биссектрисой внешнего угла при другом, равен половине угла при вершине, то есть $\frac{\beta}{2}$.Этот угол должен быть равен $134^\circ$ или $46^\circ$.1. Если $\frac{\beta}{2} = 134^\circ$:$\beta = 268^\circ$, что невозможно для угла треугольника.2. Если $\frac{\beta}{2} = 46^\circ$:$\beta = 92^\circ$.Тогда углы при основании $\alpha = \frac{180^\circ - 92^\circ}{2} = \frac{88^\circ}{2} = 44^\circ$.Получаем треугольник с углами $44^\circ, 44^\circ, 92^\circ$.Эта интерпретация условия дает еще одно решение.
Ответ: Углы треугольника равны $44^\circ, 44^\circ, 92^\circ$.

Таким образом, задача имеет три возможных решения в зависимости от того, как проведены биссектрисы.

Ответ: Задача имеет 3 решения. Углы треугольника могут быть: 1) $46^\circ, 46^\circ, 88^\circ$; 2) $88^\circ, 88^\circ, 4^\circ$; 3) $44^\circ, 44^\circ, 92^\circ$.