Номер 115, страница 44 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

115. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них на $18^\circ$ меньше другого. Сколько решений имеет задача?

115. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них на $18^\circ$ меньше другого. Сколько решений имеет задача?

В равнобедренном треугольнике как минимум два угла равны (углы при основании). По условию, один из углов на $18^\circ$ меньше другого, следовательно, в треугольнике есть углы двух различных величин. Обозначим эти величины как $\alpha$ и $\beta$. Пусть $\alpha$ — больший угол, а $\beta$ — меньший. Тогда их связь выражается формулой $\alpha = \beta + 18^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В равнобедренном треугольнике возможны два варианта распределения углов $\alpha$ и $\beta$.

Случай 1: Углы при основании меньше угла при вершине.

В этом случае два равных угла при основании равны $\beta$, а угол при вершине равен $\alpha$.

Сумма углов треугольника: $\beta + \beta + \alpha = 180^\circ$.

Подставим $\alpha = \beta + 18^\circ$ в уравнение:

$2\beta + (\beta + 18^\circ) = 180^\circ$

$3\beta + 18^\circ = 180^\circ$

$3\beta = 180^\circ - 18^\circ$

$3\beta = 162^\circ$

$\beta = 54^\circ$

Теперь найдем второй угол $\alpha$:

$\alpha = 54^\circ + 18^\circ = 72^\circ$

Таким образом, углы треугольника равны $54^\circ, 54^\circ$ и $72^\circ$.

Проверка: $54^\circ + 54^\circ + 72^\circ = 108^\circ + 72^\circ = 180^\circ$. Условие, что углы при основании ($\beta=54^\circ$) меньше угла при вершине ($\alpha=72^\circ$), выполняется.

Ответ: $54^\circ, 54^\circ, 72^\circ$.

Случай 2: Углы при основании больше угла при вершине.

В этом случае два равных угла при основании равны $\alpha$, а угол при вершине равен $\beta$.

Сумма углов треугольника: $\alpha + \alpha + \beta = 180^\circ$.

Подставим $\beta = \alpha - 18^\circ$ в уравнение:

$2\alpha + (\alpha - 18^\circ) = 180^\circ$

$3\alpha - 18^\circ = 180^\circ$

$3\alpha = 180^\circ + 18^\circ$

$3\alpha = 198^\circ$

$\alpha = 66^\circ$

Теперь найдем второй угол $\beta$:

$\beta = 66^\circ - 18^\circ = 48^\circ$

Таким образом, углы треугольника равны $66^\circ, 66^\circ$ и $48^\circ$.

Проверка: $66^\circ + 66^\circ + 48^\circ = 132^\circ + 48^\circ = 180^\circ$. Условие, что углы при основании ($\alpha=66^\circ$) больше угла при вершине ($\beta=48^\circ$), выполняется.

Ответ: $66^\circ, 66^\circ, 48^\circ$.

Сколько решений имеет задача?

Мы рассмотрели все возможные случаи и получили два различных набора углов, удовлетворяющих условиям задачи. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: задача имеет 2 решения.