Номер 111, страница 44 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. Один из углов треугольника равен $74^{\circ}$. Может ли внешний угол треугольника, не смежный с ним, быть равным: 1) $75^{\circ}$; 2) $70^{\circ}$?

111. Один из углов треугольника равен $74^\circ$. Может ли внешний угол треугольника, не смежный с ним, быть равным: 1) $75^\circ$; 2) $70^\circ$?

Согласно свойству внешнего угла треугольника, внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Также из этого следует, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

В данной задаче один из внутренних углов равен $74^\circ$. Рассматриваемый внешний угол не является смежным с ним. Это означает, что данный угол $74^\circ$ является одним из двух внутренних углов, сумма которых равна этому внешнему углу. Следовательно, искомый внешний угол должен быть строго больше $74^\circ$.

1) 75°

Проверим, может ли внешний угол быть равен $75^\circ$. Сравним это значение с величиной не смежного с ним внутреннего угла: $75^\circ > 74^\circ$. Поскольку внешний угол больше внутреннего, не смежного с ним, такая ситуация возможна. В этом случае второй внутренний угол, не смежный с внешним, будет равен $75^\circ - 74^\circ = 1^\circ$. Третий внутренний угол (смежный с внешним) будет равен $180^\circ - (74^\circ + 1^\circ) = 105^\circ$. Треугольник с углами $74^\circ$, $1^\circ$, $105^\circ$ существует.

Ответ: да, может.

2) 70°

Проверим, может ли внешний угол быть равен $70^\circ$. Сравним это значение с величиной не смежного с ним внутреннего угла: $70^\circ > 74^\circ$. Это неравенство неверно ($70^\circ < 74^\circ$), что противоречит свойству внешнего угла треугольника. Следовательно, такая ситуация невозможна. Если бы мы предположили, что это возможно, то второй внутренний угол, не смежный с внешним, должен был бы быть равен $70^\circ - 74^\circ = -4^\circ$, что невозможно, так как мера угла в треугольнике не может быть отрицательной.

Ответ: нет, не может.