Номер 116, страница 44 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

116. Биссектрисы углов $A$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $ABC$, если $\angle AOC = 125^\circ$.

116. Биссектрисы углов $A$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $ABC$, если $\angle AOC = 125^\circ$.

Пусть $AO$ и $CO$ — биссектрисы углов $A$ и $C$ треугольника $ABC$. Точка $O$ — точка их пересечения.

Рассмотрим треугольник $AOC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, для треугольника $AOC$ справедливо равенство:

$\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^\circ$

По условию задачи, $\angle AOC = 125^\circ$. Подставим это значение в формулу и найдем сумму углов $\angle OAC$ и $\angle OCA$:

$\angle OAC + \angle OCA = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$

Так как $AO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $A$ и $C$ соответственно, то они делят эти углы пополам:

$\angle OAC = \frac{1}{2}\angle A$

$\angle OCA = \frac{1}{2}\angle C$

Подставим эти выражения в найденную сумму:

$\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle C = 55^\circ$

Вынесем $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\frac{1}{2}(\angle A + \angle C) = 55^\circ$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму углов $A$ и $C$ в треугольнике $ABC$:

$\angle A + \angle C = 2 \cdot 55^\circ = 110^\circ$

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма его углов также равна $180^\circ$:

$\angle A + \angle ABC + \angle C = 180^\circ$

Мы уже нашли, что $\angle A + \angle C = 110^\circ$. Подставим это значение в уравнение:

$\angle ABC + 110^\circ = 180^\circ$

Отсюда находим искомый угол $\angle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

Ответ: $70^\circ$.