Номер 121, страница 44 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. Высота $CH$ и биссектриса $AK$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) пересекаются в точке $M$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle CMK = 64^\circ$.

121. Высота $CH$ и биссектриса $AK$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) пересекаются в точке $M$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle CMK = 64^\circ$.

Дано: $\triangle ABC$ — прямоугольный, $\angle C = 90^{\circ}$.
$CH$ — высота ($CH \perp AB$).
$AK$ — биссектриса $\angle A$.
$CH \cap AK = M$.
$\angle CMK = 64^{\circ}$.
Найти: $\angle A$ и $\angle B$.

Решение:

1. Рассмотрим углы при точке пересечения $M$. Углы $\angle AMH$ и $\angle CMK$ являются вертикальными, поэтому они равны.$\angle AMH = \angle CMK = 64^{\circ}$.

2. Рассмотрим треугольник $AMH$. Поскольку $CH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$, то $\angle CHA = 90^{\circ}$. Следовательно, $\triangle AMH$ является прямоугольным, так как $\angle AHM = 90^{\circ}$.

3. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике $AMH$ равна $90^{\circ}$.$\angle MAH + \angle AMH = 90^{\circ}$ - это неверно, сумма всех углов равна $180^\circ$.Правильно будет так: сумма углов в $\triangle AMH$ равна $180^{\circ}$.$\angle MAH + \angle AHM + \angle AMH = 180^{\circ}$.

4. Найдем угол $\angle MAH$ из $\triangle AMH$:$\angle MAH = 180^{\circ} - \angle AHM - \angle AMH$$\angle MAH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 64^{\circ} = 26^{\circ}$.

5. По условию, $AK$ — биссектриса угла $\angle A$. Точка $M$ лежит на $AK$, а точка $H$ — на $AB$, поэтому $\angle MAH$ является половиной угла $\angle A$.$\angle MAH = \frac{1}{2}\angle CAB = \frac{1}{2}\angle A$.Отсюда находим величину угла $A$:$\angle A = 2 \cdot \angle MAH = 2 \cdot 26^{\circ} = 52^{\circ}$.

6. Поскольку $\triangle ABC$ — прямоугольный, сумма его острых углов $\angle A$ и $\angle B$ равна $90^{\circ}$.$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$.Найдем угол $\angle B$:$\angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 52^{\circ} = 38^{\circ}$.

Ответ: острые углы треугольника $ABC$ равны $52^{\circ}$ и $38^{\circ}$.