Номер 118, страница 44 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. В треугольнике $ABC$ проведены высота $CH$ и биссектриса $CM$. Найдите угол $HCM$, если $\angle BAC = 68^\circ$, $\angle ABC = 26^\circ$.

118. В треугольнике $ABC$ проведены высота $CH$ и биссектриса $CM$. Найдите угол $HCM$, если $\angle BAC = 68^{\circ}$, $\angle ABC = 26^{\circ}$.

Для решения задачи найдем последовательно несколько углов в треугольнике $ ABC $.

Сначала найдем величину третьего угла треугольника, $ \angle ACB $. Сумма углов в любом треугольнике равна $ 180^\circ $, следовательно:

$ \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC $

Подставим известные значения углов:

$ \angle ACB = 180^\circ - 68^\circ - 26^\circ = 86^\circ $.

По условию, $ CM $ является биссектрисой угла $ \angle ACB $. Это означает, что она делит угол $ \angle ACB $ на два равных угла: $ \angle ACM $ и $ \angle BCM $. Вычислим величину этих углов:

$ \angle ACM = \angle BCM = \frac{\angle ACB}{2} = \frac{86^\circ}{2} = 43^\circ $.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle ACH $. Он является прямоугольным, так как $ CH $ — высота, проведенная к стороне $ AB $, и, следовательно, $ \angle CHA = 90^\circ $. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $ 90^\circ $. Используя это свойство, найдем угол $ \angle ACH $:

$ \angle ACH = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ $.

Искомый угол $ \angle HCM $ — это разность между углами $ \angle ACM $ и $ \angle ACH $.

$ \angle HCM = \angle ACM - \angle ACH $

$ \angle HCM = 43^\circ - 22^\circ = 21^\circ $.

Ответ: $ 21^\circ $