Номер 120, страница 44 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

120. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($ \angle C = 90^\circ $) проведена биссектриса $AD$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $ \angle ADB = 102^\circ $.

120. В прямоугольном треугольнике $ABC (\angle C = 90^\circ)$ проведена биссектриса $AD$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle ADB = 102^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. Угол $\angle ADB$ является внешним углом для этого треугольника при вершине $D$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Следовательно, $\angle ADB = \angle DAC + \angle C$.

Из условия задачи известно, что треугольник $ABC$ — прямоугольный, то есть $\angle C = 90^\circ$, и $\angle ADB = 102^\circ$. Подставим эти значения в уравнение:

$102^\circ = \angle DAC + 90^\circ$

Выразим и найдем угол $\angle DAC$:

$\angle DAC = 102^\circ - 90^\circ = 12^\circ$

По условию, отрезок $AD$ является биссектрисой угла $\angle A$ (или $\angle BAC$). Это означает, что он делит угол $\angle BAC$ на два равных угла, $\angle DAC$ и $\angle DAB$.

Таким образом, весь угол $\angle BAC$ равен удвоенному углу $\angle DAC$:

$\angle BAC = 2 \cdot \angle DAC = 2 \cdot 12^\circ = 24^\circ$

Мы нашли один из острых углов треугольника $ABC$. Второй острый угол, $\angle B$ (или $\angle ABC$), можно найти, используя свойство суммы острых углов в прямоугольном треугольнике, которая равна $90^\circ$.

$\angle BAC + \angle ABC = 90^\circ$

Подставим найденное значение $\angle BAC$:

$24^\circ + \angle ABC = 90^\circ$

$\angle ABC = 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ$

Таким образом, острые углы треугольника $ABC$ равны $24^\circ$ и $66^\circ$.

Ответ: $24^\circ$ и $66^\circ$.