Номер 108, страница 43 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

108. Найдите углы треугольника ABC, если $\angle A + \angle B = 100^\circ$, $\angle B + \angle C = 120^\circ$.

108. Найдите углы треугольника $ABC$, если $ \angle A + \angle B = 100^\circ $, $ \angle B + \angle C = 120^\circ $.

Основное свойство любого треугольника заключается в том, что сумма его внутренних углов всегда равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ это можно записать в виде формулы:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

В условии задачи нам даны два равенства:
1) $\angle A + \angle B = 100^\circ$
2) $\angle B + \angle C = 120^\circ$

Мы можем использовать эти данные для нахождения каждого угла по отдельности.

1. Найдём угол C.
Возьмем формулу суммы углов треугольника $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Мы можем заменить сумму $(\angle A + \angle B)$ на её известное значение из первого условия ($100^\circ$):
$(\angle A + \angle B) + \angle C = 180^\circ$
$100^\circ + \angle C = 180^\circ$
Отсюда находим $\angle C$:
$\angle C = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$

2. Найдём угол A.
Снова используем формулу суммы углов треугольника, но на этот раз сгруппируем углы иначе: $\angle A + (\angle B + \angle C) = 180^\circ$. Теперь мы можем заменить сумму $(\angle B + \angle C)$ на её известное значение из второго условия ($120^\circ$):
$\angle A + 120^\circ = 180^\circ$
Отсюда находим $\angle A$:
$\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

3. Найдём угол B.
Теперь, зная углы $A$ и $C$, мы можем найти угол $B$. Проще всего это сделать, подставив значение $\angle A$ в первое условие:
$\angle A + \angle B = 100^\circ$
$60^\circ + \angle B = 100^\circ$
$\angle B = 100^\circ - 60^\circ = 40^\circ$

Проверка:
Проверим, сходятся ли найденные значения с условиями задачи и свойством треугольника.
$\angle A + \angle B = 60^\circ + 40^\circ = 100^\circ$ (верно)
$\angle B + \angle C = 40^\circ + 80^\circ = 120^\circ$ (верно)
$\angle A + \angle B + \angle C = 60^\circ + 40^\circ + 80^\circ = 180^\circ$ (верно)

Ответ: $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 40^\circ$, $\angle C = 80^\circ$.