Номер 102, страница 42 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

102. На рисунке 115 биссектриса угла ABD пересекает прямую AC в точке F, а биссектриса угла DCK пересекает прямую BD в точке E. Докажите, что если $AB = AF$, то $CD = DE$.

Рис. 115

102. На рисунке 115 биссектриса угла $ABD$ пересекает прямую $AC$ в точке $F$, а биссектриса угла $DCK$ пересекает прямую $BD$ в точке $E$. Докажите, что если $AB = AF$, то $CD = DE$.

Рис. 115

Доказательство

1. Рассмотрим $△ABF$. По условию задачи дано, что $AB = AF$. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Следовательно, $△ABF$ — равнобедренный с основанием $BF$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle ABF = \angle AFB$.

2. По условию, $BF$ является биссектрисой угла $ABD$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам, то есть $\angle ABF = \angle FBD$.

3. Сопоставляя равенства из пунктов 1 и 2 ($\angle ABF = \angle AFB$ и $\angle ABF = \angle FBD$), мы можем заключить, что $\angle AFB = \angle FBD$.

4. Углы $\angle AFB$ и $\angle FBD$ являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых $AC$ и $BD$ секущей $BF$. Так как эти углы равны, то по признаку параллельности двух прямых, прямая $AC$ параллельна прямой $BD$ ($AC \parallel BD$).

5. Теперь, используя установленный факт, что $AC \parallel BD$, рассмотрим эти параллельные прямые и секущую $CE$. Углы $\angle KCE$ и $\angle CED$ являются внутренними накрест лежащими углами. Поскольку прямые параллельны, эти углы равны: $\angle KCE = \angle CED$.

6. По условию, $CE$ является биссектрисой угла $DCK$. Это означает, что $\angle DCE = \angle KCE$.

7. Из равенств, полученных в пунктах 5 и 6 ($\angle KCE = \angle CED$ и $\angle DCE = \angle KCE$), следует, что $\angle DCE = \angle CED$.

8. Рассмотрим $△CDE$. В этом треугольнике два угла равны. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то этот треугольник является равнобедренным.

9. В равнобедренном $△CDE$ стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Сторона $CD$ лежит напротив угла $\angle CED$, а сторона $DE$ лежит напротив угла $\angle DCE$. Следовательно, $CD = DE$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что если $AB = AF$, то $CD = DE$, доказано.