Номер 96, страница 41 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

96. На рисунке 112 $PE = PK = KF$, $PF \perp KE$. Докажите, что прямые $PE$ и $KF$ параллельны.

Рис. 112

96. На рисунке 112 $PE = PK = KF$, $PF \perp KE$. Докажите, что прямые $PE$ и $KF$ параллельны.

Рис. 112

Рассмотрим треугольник $PKE$. Согласно условию, $PE = PK$, следовательно, треугольник $PKE$ является равнобедренным с основанием $KE$.

Также по условию дано, что $PF \perp KE$. Это означает, что отрезок $PO$ (где $O$ — точка пересечения $PF$ и $KE$) является высотой треугольника $PKE$, проведенной к основанию $KE$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является биссектрисой угла при вершине. Следовательно, $PF$ является биссектрисой угла $\angle EPK$. Отсюда следует, что $\angle EPF = \angle KPF$.

Теперь рассмотрим треугольник $PKF$. По условию, $PK = KF$, следовательно, треугольник $PKF$ также является равнобедренным, но с основанием $PF$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Для треугольника $PKF$ это означает, что $\angle KPF = \angle KFP$.

Из двух предыдущих пунктов мы получили два равенства:

1. $\angle EPF = \angle KPF$
2. $\angle KPF = \angle KFP$

Из этих равенств следует, что $\angle EPF = \angle KFP$.

Углы $\angle EPF$ и $\angle KFP$ являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых $PE$ и $KF$ секущей $PF$.

Так как внутренние накрест лежащие углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $PE$ и $KF$ параллельны ($PE \parallel KF$).

Ответ: Что и требовалось доказать.