Номер 90, страница 40 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

90. На рисунке 106 $AB = BC$, $AD = DC$, $\angle BAC = \angle BCA$, $EK = KF$, $\angle EKP = \angle FKP$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ параллельны.

Рис. 106

90. На рисунке 106 $AB = BC$, $AD = DC$, $\angle BAC = \angle BCA$, $EK = KF$, $\angle EKP = \angle FKP$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ параллельны.

Рис. 106

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ \triangle ABC $. Согласно условию задачи, $ AB = BC $. Это означает, что треугольник $ \triangle ABC $ является равнобедренным с основанием $ AC $. В условии также указано, что $ AD = DC $, следовательно, точка $ D $ — это середина основания $ AC $. Отрезок $ BD $, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, является медианой.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $ BD \perp AC $. Так как прямая $ a $ проходит через отрезок $ BD $, то прямая $ a $ перпендикулярна прямой $ AC $.

2. Теперь рассмотрим треугольник $ \triangle EKF $. По условию, $ EK = KF $. Это означает, что треугольник $ \triangle EKF $ также является равнобедренным с основанием $ EF $. Отрезок $ KP $ делит угол $ \angle EKF $ на два равных угла, так как $ \angle EKP = \angle FKP $. Следовательно, $ KP $ — это биссектриса угла $ \angle EKF $.

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $ KP \perp EF $. Так как прямая $ b $ проходит через отрезок $ KP $, то прямая $ b $ перпендикулярна прямой $ EF $.

3. Точки $ A, D, C, E, P, F $ лежат на одной прямой, которую можно обозначить как $ AF $. Мы доказали, что прямая $ a \perp AF $ и прямая $ b \perp AF $.

Согласно свойству параллельных прямых, если две прямые перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они параллельны друг другу.

Таким образом, из того, что $ a \perp AF $ и $ b \perp AF $, следует, что $ a \parallel b $, что и требовалось доказать.

Ответ: Параллельность прямых $ a $ и $ b $ доказана.