Номер 84, страница 39 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. На стороне FM треугольника KFM отметили точку N так, что $FN : NM = 3 : 1$. Биссектриса FL пересекает отрезок KN в его середине. Найдите FM, если известно, что KF = 9 см.

84. На стороне $FM$ треугольника $KFM$ отметили точку $N$ так, что $FN : NM = 3 : 1$. Биссектриса $FL$ пересекает отрезок $KN$ в его середине. Найдите $FM$, если известно, что $KF = 9$ см.

Для решения задачи выполним дополнительное построение и применим свойства параллельных прямых, биссектрисы угла и равенства треугольников.

1. Дополнительное построение.
Проведем через вершину $K$ прямую, параллельную стороне $FM$. Пусть продолжение биссектрисы $FL$ пересекает эту прямую в точке $S$.

2. Доказательство равнобедренного треугольника $KFS$.
Так как прямая $SK$ параллельна $FM$ по построению, а $FS$ является секущей, то накрест лежащие углы равны: $\angle FSK = \angle LFM$.
По условию $FL$ — биссектриса угла $\angle KFM$, следовательно, она делит этот угол пополам: $\angle KFL = \angle LFM$.
Из этих двух равенств следует, что $\angle FSK = \angle KFL$ (или $\angle KSF = \angle KFS$).
Треугольник, в котором углы при основании равны, является равнобедренным. Таким образом, треугольник $\triangle KFS$ является равнобедренным с основанием $FS$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны, поэтому $KS = KF$.
По условию $KF = 9$ см, значит, $KS = 9$ см.

3. Доказательство равенства треугольников $KSP$ и $NFP$.
Рассмотрим треугольники $\triangle KSP$ и $\triangle NFP$. Пусть $P$ — точка пересечения $FL$ и $KN$.

• $KP = PN$ по условию, так как $P$ — середина отрезка $KN$.
• $\angle KPS = \angle NPF$ как вертикальные углы.
• Поскольку $SK \parallel FM$, а точка $N$ лежит на $FM$, то $SK \parallel FN$. Прямая $KN$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle SKP = \angle FNP$ (или $\angle PKS = \angle PNF$).

Таким образом, $\triangle KSP \cong \triangle NFP$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, ASA).

4. Нахождение длины отрезка $FN$.
Из равенства треугольников $\triangle KSP$ и $\triangle NFP$ следует равенство их соответственных сторон. В частности, сторона $FN$ треугольника $\triangle NFP$ равна соответственной стороне $KS$ треугольника $\triangle KSP$.
$FN = KS$.
Ранее мы нашли, что $KS = 9$ см, следовательно, $FN = 9$ см.

5. Нахождение длины стороны $FM$.
По условию задачи, точка $N$ делит сторону $FM$ в отношении $FN : NM = 3 : 1$.
Это означает, что $FN = 3 \cdot NM$.
Подставим найденное значение $FN$:
$9 = 3 \cdot NM$
$NM = 9 / 3 = 3$ см.
Длина стороны $FM$ равна сумме длин составляющих ее отрезков $FN$ и $NM$:
$FM = FN + NM = 9 + 3 = 12$ см.

Ответ: $12$ см.