Номер 81, страница 38 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

81. На высоте $CH$ равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AB$ отметили точку $M$. Докажите, что треугольник $AMB$ равнобедренный.

81. На высоте $CH$ равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AB$ отметили точку $M$. Докажите, что треугольник $AMB$ равнобедренный.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AC = BC$.

$CH$ — высота, проведенная из вершины $C$ к основанию $AB$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, обладает также свойствами медианы и биссектрисы.

1. Поскольку $CH$ является медианой, она делит основание $AB$ на два равных отрезка. Следовательно, $AH = HB$.

2. Поскольку $CH$ является высотой, она перпендикулярна основанию $AB$. Следовательно, $\angle CHA = \angle CHB = 90^{\circ}$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AMH$ и $\triangle BMH$. Точка $M$ лежит на высоте $CH$, поэтому отрезок $MH$ является частью высоты $CH$.

В этих треугольниках:

• Сторона $AH$ равна стороне $HB$ (так как $CH$ — медиана).
• Сторона $MH$ является общей для обоих треугольников.
• Угол $\angle AHM$ равен углу $\angle BHM$, так как оба они прямые ($\angle AHM = \angle BHM = 90^{\circ}$).

Таким образом, треугольник $\triangle AMH$ равен треугольнику $\triangle BMH$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Также можно сказать, что они равны как прямоугольные треугольники по двум катетам.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае, сторона $AM$ треугольника $\triangle AMH$ соответствует стороне $BM$ треугольника $\triangle BMH$, следовательно, $AM = BM$.

В треугольнике $AMB$ две стороны ($AM$ и $BM$) равны. По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным.

Следовательно, треугольник $AMB$ — равнобедренный, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.