Номер 78, страница 38 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

78. В равнобедренном треугольнике $ABC$ на боковых сторонах $AB$ и $BC$ соответственно отметили точки $N$ и $M$ так, что $\angle MAB = \angle NCB$. Докажите, что $AN = CM$.

78. В равнобедренном треугольнике $ABC$ на боковых сторонах $AB$ и $BC$ соответственно отметили точки $N$ и $M$ так, что $\angle MAB = \angle NCB$. Докажите, что $AN = CM$.

Рассмотрим треугольники $ \triangle NAC $ и $ \triangle MCA $.

По условию, треугольник $ \triangle ABC $ является равнобедренным, и его боковыми сторонами являются $AB$ и $BC$. Это означает, что $ AB = BC $, и углы при основании $AC$ равны, то есть $ \angle BAC = \angle BCA $.

Проанализируем треугольники $ \triangle NAC $ и $ \triangle MCA $ на предмет равенства:

1. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников ($AC = CA$).

2. Углы $ \angle NAC $ и $ \angle MCA $ являются углами при основании равнобедренного треугольника $ \triangle ABC $. Следовательно, $ \angle NAC = \angle MCA $.

3. По условию задачи дано, что $ \angle MAB = \angle NCB $. Запишем полные углы при основании через их части:
$ \angle BAC = \angle MAB + \angle MAC $
$ \angle BCA = \angle NCB + \angle NCA $
Поскольку $ \angle BAC = \angle BCA $ и $ \angle MAB = \angle NCB $, мы можем приравнять правые части выражений:
$ \angle MAB + \angle MAC = \angle NCB + \angle NCA $
Вычитая из обеих частей равенства равные углы ($ \angle MAB $ и $ \angle NCB $), получаем:
$ \angle MAC = \angle NCA $

Таким образом, для треугольников $ \triangle NAC $ и $ \triangle MCA $ мы имеем:

• $ \angle NAC = \angle MCA $ (как углы при основании равнобедренного треугольника)
• $ AC = CA $ (общая сторона)
• $ \angle NCA = \angle MAC $ (доказано выше)

Следовательно, $ \triangle NAC = \triangle MCA $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AN$ в треугольнике $ \triangle NAC $ лежит напротив угла $ \angle NCA $. Сторона $CM$ в треугольнике $ \triangle MCA $ лежит напротив угла $ \angle MAC $. Так как углы $ \angle NCA $ и $ \angle MAC $ равны, то равны и лежащие напротив них стороны: $ AN = CM $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ AN = CM $ доказано.