Номер 76, страница 38 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. В равнобедренном треугольнике $ABC (AB = BC)$ провели высоту $BD$. Найдите её длину, если периметр треугольника $ABC$ равен $50$ см, а периметр треугольника $ABD - 40$ см.

76. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) провели высоту $BD$. Найдите её длину, если периметр треугольника $ABC$ равен 50 см, а периметр треугольника $ABD$ — 40 см.

По условию, дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны: $AB = BC$.
Высота $BD$, проведенная к основанию $AC$ в равнобедренном треугольнике, является также его медианой. Это свойство означает, что точка $D$ делит основание $AC$ пополам, то есть $AD = DC$.
Таким образом, длина основания $AC$ равна удвоенной длине отрезка $AD$: $AC = 2 \cdot AD$.

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) равен сумме длин его сторон:
$P_{ABC} = AB + BC + AC$
Используя свойства равнобедренного треугольника, заменим $BC$ на $AB$ и $AC$ на $2 \cdot AD$:
$P_{ABC} = AB + AB + 2 \cdot AD = 2 \cdot AB + 2 \cdot AD = 2(AB + AD)$
По условию $P_{ABC} = 50$ см, следовательно:
$2(AB + AD) = 50$
$AB + AD = 50 / 2 = 25$ см.

Теперь рассмотрим периметр треугольника $ABD$ ($P_{ABD}$), который равен сумме длин его сторон:
$P_{ABD} = AB + AD + BD$
Из условия задачи мы знаем, что $P_{ABD} = 40$ см.

Мы получили систему уравнений:
1) $AB + AD = 25$
2) $AB + AD + BD = 40$
Подставим значение суммы $(AB + AD)$ из первого уравнения во второе:
$25 + BD = 40$
Выразим отсюда искомую длину высоты $BD$:
$BD = 40 - 25$
$BD = 15$ см.

Ответ: 15 см.