Номер 82, страница 39 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. На медиане $AM$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$. Докажите, что если $DB = DC$, то треугольник $ABC$ равнобедренный.

82. На медиане $AM$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$. Докажите, что если $DB = DC$, то треугольник $ABC$ равнобедренный.

Рассмотрим треугольники $DMB$ и $DMC$.

1. $DB = DC$ по условию задачи.
2. $AM$ – медиана треугольника $ABC$, следовательно, точка $M$ является серединой стороны $BC$. Это означает, что $BM = MC$.
3. Сторона $DM$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, $\Delta DMB \cong \Delta DMC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно $\angle DMB = \angle DMC$.

Углы $\angle DMB$ и $\angle DMC$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Так как эти углы равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$.

Это означает, что $DM \perp BC$. Поскольку точка $D$ лежит на медиане $AM$, то и вся медиана $AM$ перпендикулярна стороне $BC$ ($AM \perp BC$).

Теперь рассмотрим треугольники $AMB$ и $AMC$.

1. $BM = MC$ (так как $AM$ – медиана).
2. $\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$ (так как $AM \perp BC$).
3. Сторона $AM$ является общей.

Следовательно, $\Delta AMB \cong \Delta AMC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $AMB$ и $AMC$ следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AB = AC$.

По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Таким образом, треугольник $ABC$ – равнобедренный, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, треугольник $ABC$ является равнобедренным.