Номер 83, страница 39 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Признаки равнобедренного треугольника. Вариант 2. Упражнения - номер 83, страница 39.

Учебник 2017.

83. На рисунке 101 $AB = BC$, $\angle BAD = \angle BCD$. Докажите, что $\Delta ABD = \Delta CBD$.

Рис. 101

Учебник 2021.

83. На рисунке 101 $AB = BC$, $\angle BAD = \angle BCD$. Докажите, что $\triangle ABD = \triangle CBD$.

Рис. 101

Решение.

Решение 2 (2021).

Для доказательства равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ воспользуемся признаком равенства по трем сторонам (SSS). Для этого покажем, что три стороны треугольника $\triangle ABD$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle CBD$.

1. Рассмотрим $\triangle ABC$. По условию задачи $AB = BC$, следовательно, $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

2. По условию задачи также дано равенство углов: $\angle BAD = \angle BCD$.

3. Вычтем из равенства углов при основании ($\angle BAC = \angle BCA$) равенство углов, данных в условии ($\angle BAD = \angle BCD$):
$\angle BAC - \angle BAD = \angle BCA - \angle BCD$.
Из рисунка видно, что разность этих углов представляет собой углы $\angle DAC$ и $\angle DCA$ соответственно. Таким образом, получаем, что $\angle DAC = \angle DCA$.

4. Теперь рассмотрим $\triangle ADC$. Так как в этом треугольнике два угла равны ($\angle DAC = \angle DCA$), он является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $AD = CD$.

5. Теперь мы можем окончательно сравнить треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. У них:
• $AB = BC$ (по условию);
• $AD = CD$ (доказано в пункте 4);
• $BD$ — общая сторона.

Таким образом, три стороны треугольника $\triangle ABD$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle CBD$. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников, $\triangle ABD = \triangle CBD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ доказано, так как они равны по третьему признаку (по трем сторонам): $AB = BC$ (по условию), $AD = CD$ (так как $\triangle ADC$ равнобедренный), и $BD$ является общей стороной.