Номер 85, страница 39 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Третий признак равенства треугольников. Вариант 2. Упражнения - номер 85, страница 39.

Учебник 2017.

85. На рисунке 102 $DM = DE$, $FM = FE$. Найдите $\angle DMF$, если $\angle DEF = 31^\circ$.

Рис. 102

Учебник 2021.

85. На рисунке 102 $DM = DE$, $FM = FE$. Найдите $\angle DMF$, если $\angle DEF = 31^\circ$.

Рис. 102

Решение.

Решение 2 (2021).

Рассмотрим треугольники $ \triangle DMF $ и $ \triangle DEF $.

Сравним эти два треугольника по сторонам:
1) $DM = DE$ (согласно условию задачи).
2) $FM = FE$ (согласно условию задачи).
3) $DF$ — общая сторона для обоих треугольников.

Поскольку три стороны треугольника $ \triangle DMF $ соответственно равны трем сторонам треугольника $ \triangle DEF $, то эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников ($ \triangle DMF = \triangle DEF $) следует, что их соответствующие углы равны. В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы.

В треугольнике $ \triangle DMF $ угол $ \angle DMF $ лежит напротив стороны $DF$.
В треугольнике $ \triangle DEF $ угол $ \angle DEF $ лежит напротив стороны $DF$.
Так как сторона $DF$ является общей для обоих треугольников, то противолежащие ей углы в этих равных треугольниках равны между собой.

Следовательно, $ \angle DMF = \angle DEF $.

По условию задачи дано, что $ \angle DEF = 31^\circ $.

Таким образом, $ \angle DMF = 31^\circ $.

Ответ: $31^\circ$.