Номер 86, страница 39 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. На сторонах $BD$ и $B_1D_1$ треугольников $ABD$ и $A_1B_1D_1$ отметили соответственно точки $C$ и $C_1$. Докажите равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AB = A_1B_1$, $BD = B_1D_1$, $AD = A_1D_1$, $CD = C_1D_1$.

86. На сторонах $BD$ и $B_1D_1$ треугольников $ABD$ и $A_1B_1D_1$ отметили соответственно точки $C$ и $C_1$. Докажите равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AB = A_1B_1$, $BD = B_1D_1$, $AD = A_1D_1$, $CD = C_1D_1$.

Для доказательства равенства треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ необходимо последовательно доказать равенство их соответствующих элементов, опираясь на данные условия.

Равенство треугольников $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $

Сначала рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $. По условию задачи нам даны равенства трех пар их сторон:
$ AB = A_1B_1 $
$ AD = A_1D_1 $
$ BD = B_1D_1 $
Поскольку три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), эти треугольники равны: $ \triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1 $.

Равенство углов $ \angle B $ и $ \angle B_1 $

Из равенства треугольников $ \triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1 $ следует, что их соответствующие углы равны. Угол $ \angle ABD $ (обозначим его $ \angle B $) лежит напротив стороны $AD$. Угол $ \angle A_1B_1D_1 $ (обозначим его $ \angle B_1 $) лежит напротив стороны $A_1D_1$. Так как стороны $ AD $ и $ A_1D_1 $ равны, то и противолежащие им углы также равны: $ \angle B = \angle B_1 $.

Равенство сторон $ BC $ и $ B_1C_1 $

Из условия известно, что точка $C$ лежит на стороне $BD$, а точка $C_1$ — на стороне $B_1D_1$. Это значит, что длина отрезка $BC$ может быть вычислена как разность длин отрезков $BD$ и $CD$:
$ BC = BD - CD $
Аналогично для отрезка $B_1C_1$:
$ B_1C_1 = B_1D_1 - C_1D_1 $
Так как по условию $ BD = B_1D_1 $ и $ CD = C_1D_1 $, то правые части приведенных выше выражений равны. Следовательно, равны и их левые части: $ BC = B_1C_1 $.

Доказательство равенства $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $

Теперь мы можем применить первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) к треугольникам $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Мы установили, что у них:
- $ AB = A_1B_1 $ (по условию);
- $ BC = B_1C_1 $ (доказано выше);
- $ \angle B = \angle B_1 $ (доказано выше), причем этот угол находится между сторонами $AB$, $BC$ и $A_1B_1$, $B_1C_1$ соответственно.
Поскольку две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

Ответ: Равенство треугольников $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $ доказано.