Номер 93, страница 40 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

93. Параллельны ли прямые $m$ и $n$ на рисунке 109? Ответ обоснуйте.

Рис. 109

На рисунке показаны две прямые $m$ и $n$, пересеченные третьей прямой. Указаны углы:

• Верхний угол на прямой $m$: $116^\circ$
• Нижний угол на прямой $n$: $64^\circ$

Чтобы определить, параллельны ли прямые $m$ и $n$, можно рассмотреть сумму внутренних односторонних углов или другие пары углов.

Смежный угол к $116^\circ$ на прямой $m$ равен $180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$.

Этот угол в $64^\circ$ и угол в $64^\circ$ на прямой $n$ являются внутренними накрест лежащими углами. Так как они равны ($64^\circ = 64^\circ$), то прямые $m$ и $n$ параллельны.

Или, можно рассмотреть внутренние односторонние углы. Угол, смежный с $116^\circ$, равен $180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$. Этот угол является внутренним односторонним с углом $64^\circ$ на прямой $n$. Их сумма составляет $64^\circ + 64^\circ = 128^\circ$. Поскольку сумма внутренних односторонних углов не равна $180^\circ$, это означает, что прямые НЕ параллельны. Моя предыдущая логика была неверной.

Перепроверим:Внутренние односторонние углы:Угол, смежный с $116^\circ$ и находящийся с той же стороны, что и $64^\circ$, равен $180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$.Сумма внутренних односторонних углов: $64^\circ + 64^\circ = 128^\circ$.Так как $128^\circ \ne 180^\circ$, прямые $m$ и $n$ не параллельны.

Альтернативный подход:Соответственные углы. Угол, соответственный к $116^\circ$ на прямой $n$, будет находиться над прямой $n$ справа. Угол, вертикальный к $64^\circ$, равен $64^\circ$. Угол, смежный с $64^\circ$ на прямой $n$, равен $180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$. Этот угол является внутренним накрест лежащим углом к $116^\circ$ на прямой $m$.Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В данном случае, внутренние накрест лежащие углы равны $116^\circ$ и $116^\circ$ (смежный к $64^\circ$).Так, прямые $m$ и $n$ параллельны.

Обоснование:

Обозначим угол $116^\circ$ как $\alpha$ и угол $64^\circ$ как $\beta$.

Рассмотрим угол, смежный с $\beta$. Он равен $180^\circ - \beta = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$.

Этот угол ($116^\circ$) и угол $\alpha$ ($116^\circ$) являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых $m$ и $n$ секущей.

По теореме о признаках параллельности прямых: если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Поскольку $116^\circ = 116^\circ$, прямые $m$ и $n$ параллельны.

93. Параллельны ли прямые $m$ и $n$ на рисунке 109? Ответ обоснуйте.

Рис. 109

$m$

$116^\circ$

$n$

$64^\circ$

Для того чтобы определить, параллельны ли прямые $m$ и $n$, необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллельности двух прямых при пересечении их третьей прямой (секущей). Основные признаки параллельности:

• внутренние накрест лежащие углы равны;
• соответственные углы равны;
• сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$.

Проверим эти условия, используя данные с рисунка.

Способ 1. По внутренним накрест лежащим углам.

На рисунке даны два внутренних угла, расположенных по разные стороны от секущей — это внутренние накрест лежащие углы. Один из них равен $116^\circ$, а другой — $64^\circ$.
Согласно признаку параллельности, прямые были бы параллельны, если бы эти углы были равны.
Сравним их значения: $116^\circ \neq 64^\circ$.
Так как внутренние накрест лежащие углы не равны, прямые $m$ и $n$ не параллельны.

Способ 2. По внутренним односторонним углам.

Рассмотрим угол, смежный с углом $116^\circ$. Он также является внутренним и находится на той же прямой $m$. Его величина равна $180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$.
Этот угол ($64^\circ$) и данный на рисунке угол при прямой $n$ ($64^\circ$) являются внутренними односторонними, так как они лежат по одну сторону от секущей.
Согласно признаку параллельности, прямые были бы параллельны, если бы сумма этих углов равнялась $180^\circ$.
Найдем их сумму: $64^\circ + 64^\circ = 128^\circ$.
Так как $128^\circ \neq 180^\circ$, прямые $m$ и $n$ не параллельны.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: Прямые $m$ и $n$ не параллельны.