Номер 100, страница 42 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Свойства параллельных прямых. Вариант 2. Упражнения - номер 100, страница 42.

Учебник 2017.

100. На рисунке 114 прямые $MN$ и $KP$ параллельны. Докажите, что биссектрисы углов $\angle MCD$ и $\angle CDP$ параллельны.

Рис. 114

Учебник 2021.

100. На рисунке 114 прямые $MN$ и $KP$ параллельны. Докажите, что биссектрисы углов $MCD$ и $CDP$ параллельны.

Рис. 114

Решение.

Решение 2 (2021).

По условию задачи прямые $MN$ и $KP$ параллельны ($MN \parallel KP$), а прямая, проходящая через точки $C$ и $D$, является для них секущей.

Углы $\angle MCD$ и $\angle CDP$ являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении параллельных прямых $MN$ и $KP$ секущей $CD$. По свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы равны. Следовательно:
$\angle MCD = \angle CDP$.

Пусть $l_1$ — биссектриса угла $\angle MCD$, а $l_2$ — биссектриса угла $\angle CDP$. По определению, биссектриса делит угол на две равные части.

Рассмотрим углы, которые эти биссектрисы образуют с секущей $CD$. Биссектриса $l_1$ образует угол, равный $\frac{1}{2} \angle MCD$. Биссектриса $l_2$ образует угол, равный $\frac{1}{2} \angle CDP$.

Так как исходные углы равны ($\angle MCD = \angle CDP$), то и их половины равны:
$\frac{1}{2} \angle MCD = \frac{1}{2} \angle CDP$.

Эти новые равные углы являются внутренними накрест лежащими для прямых $l_1$ и $l_2$ при их пересечении секущей $CD$.

Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Так как мы доказали равенство этих углов для биссектрис, то биссектрисы параллельны друг другу.

Ответ: Утверждение доказано. Биссектрисы углов $MCD$ и $CDP$ параллельны.