Номер 101, страница 42 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

101. На биссектрисе угла $ABC$ отметили точку $K$ и через неё провели прямую, параллельную стороне $BA$. Эта прямая пересекает сторону $BC$ в точке $F$. Найдите углы $BFK$ и $FKB$, если $\angle FBK = 40^{\circ}$.

101. На биссектрисе угла $ABC$ отметили точку $K$ и через неё провели прямую, параллельную стороне $BA$. Эта прямая пересекает сторону $BC$ в точке $F$. Найдите углы $BFK$ и $FKB$, если $\angle FBK = 40^{\circ}$.

Поскольку луч BK является биссектрисой угла ABC, он делит этот угол на два равных угла: $∠ABK = ∠KBC$.
Точка F лежит на стороне BC, поэтому угол $∠KBC$ и угол $∠FBK$ — это один и тот же угол.
Следовательно, $∠ABK = ∠FBK$.
По условию задачи, $∠FBK = 40°$. Отсюда следует, что $∠ABK$ также равен 40°.
$∠ABK = 40°$.

FKB
В условии сказано, что прямая, проходящая через точку K, параллельна стороне BA. Эта прямая пересекает сторону BC в точке F, следовательно, прямая KF параллельна прямой BA ($KF \parallel BA$).
Рассмотрим эти параллельные прямые $KF$ и $BA$ и секущую $BK$.
Углы $∠FKB$ и $∠ABK$ являются внутренними накрест лежащими углами. При параллельных прямых такие углы равны.
$∠FKB = ∠ABK$
Поскольку мы уже установили, что $∠ABK = 40°$, то:
$∠FKB = 40°$.
Ответ: $∠FKB = 40°$.

BFK
Рассмотрим треугольник BFK. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.
$∠BFK + ∠FKB + ∠FBK = 180°$
Мы знаем два угла этого треугольника: $∠FBK = 40°$ (по условию) и $∠FKB = 40°$ (как было найдено ранее).
Подставим известные значения в уравнение:
$∠BFK + 40° + 40° = 180°$
$∠BFK + 80° = 180°$
$∠BFK = 180° - 80°$
$∠BFK = 100°$
Ответ: $∠BFK = 100°$.