Номер 79, страница 38 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

79. Докажите равенство равнобедренных треугольников по углу при вершине и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла.

79. Докажите равенство равнобедренных треугольников по углу при вершине и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла.

Дано:

$ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ — равнобедренные треугольники.
В $ \triangle ABC $: боковые стороны $ AB = BC $, $ \angle B $ — угол при вершине, $ BD $ — биссектриса угла $ \angle B $.
В $ \triangle A_1B_1C_1 $: боковые стороны $ A_1B_1 = B_1C_1 $, $ \angle B_1 $ — угол при вершине, $ B_1D_1 $ — биссектриса угла $ \angle B_1 $.
По условию задачи: $ \angle B = \angle B_1 $ и $ BD = B_1D_1 $.

Доказать:

$ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

Доказательство:

1. Рассмотрим $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Так как они равнобедренные, углы при их основаниях равны: $ \angle A = \angle C $ и $ \angle A_1 = \angle C_1 $. Сумма углов в треугольнике равна $ 180^\circ $, поэтому для углов при основании можно записать:
$ \angle A = \frac{180^\circ - \angle B}{2} $
$ \angle A_1 = \frac{180^\circ - \angle B_1}{2} $
Поскольку по условию $ \angle B = \angle B_1 $, то и углы при основании этих треугольников равны: $ \angle A = \angle A_1 $.

2. Так как $ BD $ и $ B_1D_1 $ — биссектрисы углов $ \angle B $ и $ \angle B_1 $ соответственно, они делят эти углы пополам:
$ \angle ABD = \frac{1}{2}\angle B $
$ \angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2}\angle B_1 $
Так как $ \angle B = \angle B_1 $, то их половины также равны: $ \angle ABD = \angle A_1B_1D_1 $.

3. Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $. В них:
- $ BD = B_1D_1 $ (по условию).
- $ \angle A = \angle A_1 $ (доказано в п. 1).
- $ \angle ABD = \angle A_1B_1D_1 $ (доказано в п. 2).
Следовательно, $ \triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1 $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

4. Из равенства треугольников $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $ следует равенство их соответственных сторон, а именно: $ AB = A_1B_1 $.

5. Наконец, вернемся к исходным треугольникам $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Сравним их по первому признаку равенства (по двум сторонам и углу между ними):
- $ AB = A_1B_1 $ (доказано в п. 4).
- $ \angle B = \angle B_1 $ (по условию).
- $ BC = AB $ и $ B_1C_1 = A_1B_1 $ (так как треугольники равнобедренные). Отсюда следует, что $ BC = B_1C_1 $.
Таким образом, $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $ по двум сторонам и углу между ними.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников доказано.