Номер 75, страница 38 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

75. На рисунке 99 $AB = BC$. Докажите, что $\angle 1 = \angle 2$.

Рис. 99

75. На рисунке 99 $AB = BC$. Докажите, что $\angle 1 = \angle 2$.

Рис. 99

Для доказательства равенства углов $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и смежных углов.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ \triangle ABC $. По условию задачи дано, что $ AB = BC $. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Следовательно, $ \triangle ABC $ — равнобедренный с основанием $ AC $.

2. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Для $ \triangle ABC $ это означает, что угол при вершине A равен углу при вершине C, то есть $ \angle BAC = \angle BCA $.

3. Угол $ \angle 1 $ и угол $ \angle BAC $ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол (лежат на одной прямой). Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $. Отсюда мы можем выразить $ \angle 1 $:
$ \angle 1 = 180^\circ - \angle BAC $.

4. Аналогично, угол $ \angle 2 $ и угол $ \angle BCA $ являются смежными. Следовательно, их сумма также равна $ 180^\circ $. Выразим $ \angle 2 $:
$ \angle 2 = 180^\circ - \angle BCA $.

5. Так как мы уже установили в пункте 2, что $ \angle BAC = \angle BCA $, то правые части выражений для $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ равны. Следовательно, равны и левые части:
$ \angle 1 = \angle 2 $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ \angle 1 = \angle 2 $ доказано.