Номер 68, страница 37 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

68. На рисунке 97 $BO = OD$, $EO = OF$, $\angle ADB = \angle CBD$. Докажите, что $\triangle ABD = \triangle CDB$.

Рис. 97

68. На рисунке 97 $BO = OD$, $EO = OF$, $\angle ADB = \angle CBD$. Докажите, что $\triangle ABD = \triangle CDB$.

Рис. 97

Для доказательства равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$ воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, УСУ).

Для этого нам необходимо показать, что одна сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника.

1. Рассмотрим сторону $BD$. Она является общей для треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$.

2. По условию задачи нам дано, что $\angle ADB = \angle CBD$. Эти углы прилежат к общей стороне $BD$.

3. Нам осталось доказать равенство второй пары прилежащих углов: $\angle ABD = \angle CDB$. Для этого рассмотрим треугольники $\triangle BOE$ и $\triangle DOF$.

Из условия задачи известно, что:

• $BO = OD$
• $EO = OF$

Углы $\angle BOE$ и $\angle DOF$ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении отрезков $BD$ и $EF$.

Таким образом, $\triangle BOE = \triangle DOF$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, СУС).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответственных углов: $\angle OBE = \angle ODF$.

Угол $\angle OBE$ является тем же углом, что и $\angle ABD$, а угол $\angle ODF$ — тем же, что и $\angle CDB$. Следовательно, мы доказали, что $\angle ABD = \angle CDB$.

Теперь мы имеем все необходимые элементы для доказательства равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$:

• $\angle ADB = \angle CBD$ (по условию)
• $BD$ — общая сторона
• $\angle ABD = \angle CDB$ (доказано выше)

Следовательно, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABD = \triangle CDB$ доказано.