Номер 64, страница 36 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

64. На рисунке 93 $BD = DE$, $\angle NBC = \angle DEF$. Докажите, что $\Delta ABD = \Delta FED$.

Рис. 93

64. На рисунке 93 $BD = DE$, $\angle NBC = \angle DEF$. Докажите, что $\triangle ABD = \triangle FED$.

Рис. 93

Для доказательства равенства треугольников $ΔABD$ и $ΔFED$ воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

1. Рассмотрим углы, образованные при пересечении прямых, на которых лежат отрезки $AC$ и $NE$. Углы $∠ABD$ и $∠NBC$ являются вертикальными. По свойству вертикальных углов, они равны: $∠ABD = ∠NBC$.

2. По условию задачи известно, что $∠NBC = ∠DEF$.

3. Из равенств $∠ABD = ∠NBC$ и $∠NBC = ∠DEF$ по свойству транзитивности следует, что $∠ABD = ∠DEF$.

4. Теперь рассмотрим углы, образованные при пересечении прямых, на которых лежат отрезки $AF$ и $NE$. Углы $∠ADB$ и $∠FDE$ являются вертикальными. По свойству вертикальных углов, они также равны: $∠ADB = ∠FDE$.

5. Теперь мы можем сравнить треугольники $ΔABD$ и $ΔFED$. Мы установили, что у них есть три пары соответственно равных элементов:
- $∠ABD = ∠DEF$ (по доказанному выше);
- $BD = DE$ (по условию);
- $∠ADB = ∠FDE$ (как вертикальные углы).

Сторона $BD$ и прилежащие к ней углы $∠ABD$ и $∠ADB$ в треугольнике $ΔABD$ соответственно равны стороне $DE$ и прилежащим к ней углам $∠DEF$ и $∠FDE$ в треугольнике $ΔFED$. Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $ΔABD = ΔFED$.

Ответ: Равенство треугольников $ΔABD = ΔFED$ доказано.