Номер 66, страница 37 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

66. На рисунке 95 $AD = CF$, $\angle BAC = \angle DFE$, $\angle ACB = \angle EDF$.

Докажите, что $\angle ABC = \angle DEF$.

Рис. 95

66. На рисунке 95 $AD = CF$, $\angle BAC = \angle DFE$, $\angle ACB = \angle EDF$. Докажите, что $\angle ABC = \angle DEF$.

Рис. 95

Для доказательства того, что $\angle ABC = \angle DEF$, мы докажем равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle FDE$.

1. Сначала найдем равные стороны в этих треугольниках. Рассмотрим отрезки $AC$ и $DF$. Из рисунка видно, что точки A, D, C, F лежат на одной прямой. Длина отрезка $AC$ является суммой длин отрезков $AD$ и $DC$, то есть $AC = AD + DC$. Аналогично, длина отрезка $DF$ является суммой длин отрезков $DC$ и $CF$, то есть $DF = DC + CF$.

2. По условию задачи нам дано, что $AD = CF$. Если к обеим частям этого верного равенства прибавить одну и ту же величину — длину отрезка $DC$, — то равенство сохранится:

$AD + DC = CF + DC$

Заменяя суммы длин отрезков на основании пункта 1, получаем:

$AC = DF$

3. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle FDE$. У них:

- $AC = DF$ (как доказано выше);

- $\angle BAC = \angle DFE$ (по условию);

- $\angle ACB = \angle EDF$ (по условию).

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle FDE$).

4. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) следует, что $\triangle ABC \cong \triangle FDE$.

5. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. Следовательно, все соответствующие элементы этих треугольников равны. Углу $\angle ABC$ в треугольнике $\triangle ABC$ соответствует угол $\angle FED$ в треугольнике $\triangle FDE$.

Отсюда $\angle ABC = \angle FED$. Поскольку $\angle FED$ и $\angle DEF$ — это обозначения одного и того же угла, мы доказали, что $\angle ABC = \angle DEF$.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство $\angle ABC = \angle DEF$ следует из равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle FDE$, которое устанавливается по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).