Номер 60, страница 36 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60. Равные отрезки $MN$ и $KF$ пересекаются в точке $E$ так, что $ME : EN = KE : EF = 3 : 1$. Докажите, что $\triangle MEF = \triangle KEN$.

60. Равные отрезки MN и KF пересекаются в точке E так, что $ME : EN = KE : EF = 3 : 1$. Докажите, что $\Delta MEF = \Delta KEN$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MEF$ и $\triangle KEN$. Для доказательства их равенства воспользуемся данными из условия задачи.

По условию, отрезки $MN$ и $KF$ равны, то есть $MN = KF$.
Также известно, что точка $E$ делит эти отрезки в отношении $3:1$.

Для отрезка $MN$ имеем $ME : EN = 3 : 1$. Давайте введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $EN = x$, а $ME = 3x$. Длина всего отрезка $MN$ будет суммой его частей: $MN = ME + EN = 3x + x = 4x$.

Аналогично для отрезка $KF$ имеем $KE : EF = 3 : 1$. Введем коэффициент пропорциональности $y$, тогда $EF = y$, а $KE = 3y$. Длина всего отрезка $KF$ будет: $KF = KE + EF = 3y + y = 4y$.

Так как по условию $MN = KF$, мы можем приравнять выражения для их длин:
$4x = 4y$
Разделив обе части на 4, получим:
$x = y$

Это означает, что $EN = EF = x$ и $ME = KE = 3x$.

Теперь сравним элементы треугольников $\triangle MEF$ и $\triangle KEN$:

1. Сторона $ME$ треугольника $\triangle MEF$ равна стороне $KE$ треугольника $\triangle KEN$ ($ME = KE = 3x$).
2. Сторона $EF$ треугольника $\triangle MEF$ равна стороне $EN$ треугольника $\triangle KEN$ ($EF = EN = x$).
3. Угол $\angle MEF$ и угол $\angle KEN$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $MN$ и $KF$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle MEF = \angle KEN$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle MEF$ и $\triangle KEN$ две стороны и угол между ними соответственно равны. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), эти треугольники равны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle MEF = \triangle KEN$ доказано на основании первого признака равенства треугольников, так как из условия следует, что $ME = KE$ и $EF = EN$, а углы $\angle MEF$ и $\angle KEN$ равны как вертикальные.