Номер 59, страница 35 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

59. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AM$ и $CK$. Периметры треугольников $ACK$ и $BCK$ равны, а периметр треугольника $ABC$ равен $26$ см. Найдите разность периметров треугольников $ABM$ и $ACM$, если $AB = 10$ см.

59. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AM$ и $CK$. Периметры треугольников $ACK$ и $BCK$ равны, а периметр треугольника $ABC$ равен 26 см. Найдите разность периметров треугольников $ABM$ и $ACM$, если $AB = 10$ см.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ проведены медианы $AM$ и $CK$.

Рассмотрим периметры треугольников $ACK$ и $BCK$.

Периметр треугольника $ACK$ равен $P_{ACK} = AC + AK + CK$.

Периметр треугольника $BCK$ равен $P_{BCK} = BC + BK + CK$.

По условию, $P_{ACK} = P_{BCK}$. Следовательно:

$AC + AK + CK = BC + BK + CK$

Вычитая из обеих частей равенства общую сторону $CK$, получаем:

$AC + AK = BC + BK$

Так как $CK$ — медиана, проведенная к стороне $AB$, то она делит эту сторону пополам, то есть $AK = BK$. Вычитая эти равные отрезки из обеих частей равенства, получаем:

$AC = BC$

Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$.

Периметр треугольника $ABC$ равен $P_{ABC} = AB + BC + AC$. По условию $P_{ABC} = 26$ см и $AB = 10$ см. Подставим известные значения и учтем, что $AC = BC$:

$10 + BC + BC = 26$

$10 + 2 \cdot BC = 26$

$2 \cdot BC = 26 - 10$

$2 \cdot BC = 16$

$BC = 8$ см.

Так как $AC = BC$, то $AC = 8$ см.

Теперь найдем разность периметров треугольников $ABM$ и $ACM$.

Периметр треугольника $ABM$ равен $P_{ABM} = AB + BM + AM$.

Периметр треугольника $ACM$ равен $P_{ACM} = AC + CM + AM$.

Найдем их разность:

$P_{ABM} - P_{ACM} = (AB + BM + AM) - (AC + CM + AM)$

$P_{ABM} - P_{ACM} = AB + BM + AM - AC - CM - AM$

Поскольку $AM$ — медиана, проведенная к стороне $BC$, то $BM = CM$. Эти слагаемые взаимно уничтожаются, как и общая сторона $AM$.

$P_{ABM} - P_{ACM} = AB - AC$

Подставим известные значения длин сторон $AB = 10$ см и $AC = 8$ см:

$P_{ABM} - P_{ACM} = 10 - 8 = 2$ см.

Ответ: 2 см.