Номер 67, страница 37 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. На рисунке 96 $BO = OD, EO = OF$. Докажите, что $\triangle AOB = \triangle COD$.

Рис. 96

67. На рисунке 96 $BO = OD$, $EO = OF$. Докажите, что $\triangle AOB = \triangle COD$.

Рис. 96

Для доказательства того, что $ \triangle AOB = \triangle COD $, необходимо сначала рассмотреть треугольники $ \triangle EOB $ и $ \triangle FOD $.

В треугольниках $ \triangle EOB $ и $ \triangle FOD $ имеются следующие равенства:
1. $ EO = OF $ (согласно условию задачи).
2. $ BO = OD $ (согласно условию задачи).
3. $ \angle EOB = \angle FOD $ (поскольку эти углы являются вертикальными).

Таким образом, $ \triangle EOB = \triangle FOD $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $ \triangle EOB $ и $ \triangle FOD $ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их углы: $ \angle OBE = \angle ODF $.

Теперь перейдем к доказательству равенства треугольников $ \triangle AOB $ и $ \triangle COD $.
Рассмотрим $ \triangle AOB $ и $ \triangle COD $:
1. $ BO = OD $ (согласно условию задачи).
2. $ \angle AOB = \angle COD $ (поскольку эти углы являются вертикальными).
3. $ \angle ABO = \angle CDO $ (поскольку $ \angle ABO $ — это тот же угол, что и $ \angle OBE $, а $ \angle CDO $ — тот же угол, что и $ \angle ODF $, а мы уже доказали, что $ \angle OBE = \angle ODF $).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $ \triangle AOB = \triangle COD $.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ \triangle AOB $ и $ \triangle COD $ доказано.