Номер 69, страница 37 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

69. На рисунке 98 $BD=BE$, $DC=AE$, $\angle BDC = \angle BEA$. Найдите длину отрезка $AD$, если $CE = 6$ см.

Рис. 98

69. На рисунке 98 $BD = BE, DC = AE, \angle BDC = \angle BEA.$ Найдите длину отрезка $AD$, если $CE = 6$ см.

Рис. 98

Рассмотрим треугольники $ \triangle BDC $ и $ \triangle BEA $. По условию задачи даны следующие равенства:
1) $BD = BE$
2) $DC = AE$
3) $\angle BDC = \angle BEA$

Данные условия соответствуют равенству треугольников по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них (признак SSA). В общем случае этот признак не гарантирует равенство треугольников. Однако, если данный угол является тупым или прямым, то треугольник по таким элементам строится однозначно, и, следовательно, треугольники равны. На рисунке 98 углы $\angle BDC$ и $\angle BEA$ изображены тупыми. Будем исходить из того, что они являются тупыми. В этом случае мы можем утверждать, что $ \triangle BDC \cong \triangle BEA $.

Из равенства треугольников $ \triangle BDC $ и $ \triangle BEA $ следует равенство их соответствующих элементов:
• Стороны $BC$ и $BA$ равны, так как они лежат против равных углов $\angle BDC$ и $\angle BEA$. Таким образом, $BC = BA$.
• Углы $\angle DBC$ и $\angle EBA$ равны, так как они лежат против равных сторон $DC$ и $AE$. Таким образом, $\angle DBC = \angle EBA$.

Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle CBE $. Докажем их равенство.
1. $AB = CB$, как было показано выше.
2. $BD = BE$, согласно условию задачи.
3. Сравним углы $\angle ABD$ и $\angle CBE$. Угол $\angle ABC$ можно представить в виде суммы углов двумя способами:
$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$
$\angle ABC = \angle CBE + \angle EBA$
Приравнивая правые части этих выражений, получаем: $\angle ABD + \angle DBC = \angle CBE + \angle EBA$.
Поскольку мы уже установили, что $\angle DBC = \angle EBA$, мы можем вычесть эту равную величину из обеих частей равенства. В результате получаем: $\angle ABD = \angle CBE$.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в $ \triangle ABD $, которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в $ \triangle CBE $:
• $AB = CB$
• $\angle ABD = \angle CBE$
• $BD = BE$
Следовательно, $ \triangle ABD \cong \triangle CBE $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, SAS).

Из равенства треугольников $ \triangle ABD $ и $ \triangle CBE $ следует равенство их соответственных сторон. Сторона $AD$ в $ \triangle ABD $ соответствует стороне $CE$ в $ \triangle CBE $. Значит, $AD = CE$.

По условию задачи известно, что $CE = 6$ см.Следовательно, длина отрезка $AD$ также равна 6 см.

Ответ: 6 см.