Номер 134, страница 46 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

134. На рисунке 121 $NE \perp MK$, $PF \perp MK$, $ME = KF$, $NE = PF$. Докажите, что $\angle NKM = \angle PMK$.

Рис. 121

134. На рисунке 121 $NE \perp MK$, $PF \perp MK$, $ME = KF$, $NE = PF$. Докажите, что $\angle NKM = \angle PMK$.

Рис. 121

Для доказательства равенства углов $\angle NKM$ и $\angle PMK$ рассмотрим два треугольника: $\triangle NEK$ и $\triangle PFM$.

1. Согласно условию, $NE \perp MK$ и $PF \perp MK$. Это означает, что треугольники $\triangle NEK$ и $\triangle PFM$ являются прямоугольными, а их углы $\angle NEK$ и $\angle PFM$ — прямые, то есть $\angle NEK = \angle PFM = 90^\circ$.

2. По условию задачи, катет $NE$ треугольника $\triangle NEK$ равен катету $PF$ треугольника $\triangle PFM$: $NE = PF$.

3. Теперь сравним катеты $EK$ и $FM$. Из рисунка видно, что точки M, E, F, K лежат на одной прямой. Длину отрезка $EK$ можно представить как сумму длин отрезков $EF$ и $FK$: $EK = EF + FK$. Аналогично, длина отрезка $FM$ равна сумме длин отрезков $ME$ и $EF$: $FM = ME + EF$.

В условии также дано, что $ME = KF$. Заменим в выражении для $EK$ отрезок $FK$ на равный ему отрезок $ME$:

$EK = EF + ME$

Сравнивая полученное выражение для $EK$ с выражением для $FM$, видим, что они равны:

$EK = FM$

4. Мы установили, что в прямоугольных треугольниках $\triangle NEK$ и $\triangle PFM$ соответственно равны два катета: $NE = PF$ и $EK = FM$. Следовательно, треугольники $\triangle NEK$ и $\triangle PFM$ равны по двум катетам (что является частным случаем первого признака равенства треугольников).

5. Из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов. В данном случае, углу $\angle NKE$ треугольника $\triangle NEK$ соответствует угол $\angle PMF$ треугольника $\triangle PFM$. Таким образом, $\angle NKE = \angle PMF$.

6. Так как точки E и F лежат на отрезке MK, то луч KE совпадает с лучом KM, а луч MF совпадает с лучом MK. Поэтому угол $\angle NKE$ — это тот же самый угол, что и $\angle NKM$, а угол $\angle PMF$ — тот же самый, что и $\angle PMK$.

Из этого следует, что $\angle NKM = \angle PMK$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle NKM = \angle PMK$ доказано.