Номер 136, страница 46 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Прямоугольные треугольники DEF ($\angle D = 90^\circ$) и DEK ($\angle E = 90^\circ$) имеют общий катет DE, а точки F и K лежат в разных полуплоскостях относительно прямой DE. Докажите, что если $\angle DFE = \angle DKE$, то прямые EF и DK параллельны.

136. Прямоугольные треугольники $DEF$ ($\angle D = 90^\circ$) и $DEK$ ($\angle E = 90^\circ$) имеют общий катет $DE$, а точки $F$ и $K$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $DE$. Докажите, что если $\angle DFE = \angle DKE$, то прямые $EF$ и $DK$ параллельны.

Дано:

$\triangle DEF$ и $\triangle DEK$ - прямоугольные треугольники.
$\angle FDE = 90^\circ$.
$\angle DEK = 90^\circ$.
$DE$ - общий катет.
Точки $F$ и $K$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $DE$.
$\angle DFE = \angle DKE$.

Доказать:

$EF \parallel DK$.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DEF$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Следовательно, для $\triangle DEF$ справедливо равенство:

$\angle FED + \angle DFE = 90^\circ$

Отсюда выразим угол $\angle FED$:

$\angle FED = 90^\circ - \angle DFE$

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DEK$. Аналогично, для $\triangle DEK$ справедливо равенство:

$\angle EDK + \angle DKE = 90^\circ$

Отсюда выразим угол $\angle EDK$:

$\angle EDK = 90^\circ - \angle DKE$

3. По условию задачи нам дано, что $\angle DFE = \angle DKE$.

4. Сравнивая выражения для углов $\angle FED$ и $\angle EDK$, полученные в пунктах 1 и 2, и учитывая условие из пункта 3, получаем:

$\angle FED = 90^\circ - \angle DFE = 90^\circ - \angle DKE = \angle EDK$

Таким образом, мы доказали, что $\angle FED = \angle EDK$.

5. Углы $\angle FED$ и $\angle EDK$ являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых $EF$ и $DK$ секущей $ED$.

6. Поскольку внутренние накрест лежащие углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $EF$ и $DK$ параллельны: $EF \parallel DK$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Параллельность прямых $EF$ и $DK$ доказана.