Номер 142, страница 47 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

142. Из точки $P$ к прямой $AB$ проведены наклонные $PA$ и $PB$ и перпендикуляр $PC$ так, что точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$ и $\angle PAB = 48^\circ$. Сравните отрезки $AC$ и $BP$.

142. Из точки $P$ к прямой $AB$ проведены наклонные $PA$ и $PB$ и перпендикуляр $PC$ так, что точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$ и $\angle PAB = 48^\circ$. Сравните отрезки $AC$ и $BP$.

По условию задачи, PC является перпендикуляром к прямой AB. Это означает, что треугольники PAC и PBC являются прямоугольными, с прямыми углами при вершине C ($∠PCA = ∠PCB = 90^\circ$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник PAC. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Нам известны два угла в этом треугольнике:

• $∠PCA = 90^\circ$ (так как PC — перпендикуляр)
• $∠PAC = ∠PAB = 48^\circ$ (по условию)

Найдем третий угол, $∠APC$:

$∠APC = 180^\circ - ∠PCA - ∠PAC = 180^\circ - 90^\circ - 48^\circ = 42^\circ$.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В треугольнике PAC сравним углы, противолежащие катетам AC и PC:

• Катету AC противолежит угол $∠APC = 42^\circ$.
• Катету PC противолежит угол $∠PAC = 48^\circ$.

Поскольку $48^\circ > 42^\circ$, то и сторона, лежащая против большего угла, будет длиннее. Следовательно, $PC > AC$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник PBC. В этом треугольнике BP является гипотенузой, а PC — катетом. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Таким образом, $BP > PC$.

Мы получили систему из двух неравенств:

1. $PC > AC$
2. $BP > PC$

Объединяя эти неравенства, получаем цепочку $BP > PC > AC$. Из этого напрямую следует, что $BP > AC$.

Ответ: Отрезок BP длиннее отрезка AC, то есть $BP > AC$.