Номер 147, страница 47 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

147. На рисунке 123 $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle BAK = 90^\circ$, $\angle CAB = 60^\circ$. Найдите угол $\angle AKB$, если $AC = 8$ см, $BK = 32$ см.

Рис. 123

147. На рисунке 123 $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle BAK = 90^\circ$, $\angle CAB = 60^\circ$. Найдите угол $AKB$, если $AC = 8$ см, $BK = 32$ см.

Рис. 123

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACB$, так как по условию $\angle ACB = 90^\circ$. В этом треугольнике известен катет $AC = 8$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle CAB = 60^\circ$. Мы можем найти гипотенузу $AB$, используя определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\angle CAB) = \frac{AC}{AB}$

Подставим известные значения:

$\cos(60^\circ) = \frac{8}{AB}$

Так как значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$, получаем уравнение:

$\frac{1}{2} = \frac{8}{AB}$

Отсюда выразим $AB$:

$AB = 8 \cdot 2 = 16$ см.

Теперь рассмотрим второй прямоугольный треугольник $BAK$, так как по условию $\angle BAK = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известен катет $AB = 16$ см и гипотенуза $BK = 32$ см. Нам необходимо найти угол $AKB$. Катет $AB$ является противолежащим для угла $AKB$, поэтому мы можем использовать определение синуса угла:

$\sin(\angle AKB) = \frac{AB}{BK}$

Подставим известные длины сторон:

$\sin(\angle AKB) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

Острый угол в прямоугольном треугольнике, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$.

Следовательно, $\angle AKB = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.