Номер 146, страница 47 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Свойства прямоугольного треугольника. Вариант 2. Упражнения - номер 146, страница 47.

Учебник 2017.

146. В прямоугольном треугольнике $DEP$ ($\angle P = 90^\circ$) провели высоту $PK$. Найдите гипотенузу $DE$, если $PE = 16 \text{ см}$, $KE = 8 \text{ см}$.

Учебник 2021.

146. В прямоугольном треугольнике $DEP (\angle P = 90^\circ)$ провели высоту $PK$. Найдите гипотенузу $DE$, если $PE = 16$ см, $KE = 8$ см.

Решение.

Решение 2 (2021).

В прямоугольном треугольнике $DEP$ с прямым углом при вершине $P$ ($\angle P = 90^\circ$), $DE$ является гипотенузой, а $DP$ и $PE$ — катетами. $PK$ — это высота, проведенная из вершины прямого угла $P$ к гипотенузе $DE$. Точка $K$ лежит на гипотенузе, а отрезок $KE$ является проекцией катета $PE$ на гипотенузу.

По условию задачи даны:

• длина катета $PE = 16$ см;
• длина проекции этого катета на гипотенузу $KE = 8$ см.

Для нахождения длины гипотенузы $DE$ воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Одно из них гласит, что квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Запишем это соотношение в виде формулы для катета $PE$:

$PE^2 = KE \cdot DE$

Подставим известные значения в эту формулу:

$16^2 = 8 \cdot DE$

Вычислим значение $16^2$:

$256 = 8 \cdot DE$

Теперь выразим $DE$ из полученного уравнения:

$DE = \frac{256}{8}$

$DE = 32$ см.

Ответ: 32 см.