Номер 148, страница 47 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Свойства прямоугольного треугольника. Вариант 2. Упражнения - номер 148, страница 47.

Учебник 2017.

148. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$. Биссектриса угла $B$ пересекает катет $AC$ в точке $D$. Найдите $AD$, если $BD + CD = 15$ см.

Учебник 2021.

148. В треугольнике ABC известно, что $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$. Биссектриса угла B пересекает катет AC в точке D. Найдите AD, если $BD + CD = 15$ см.

Решение.

Решение 2 (2021).

1. Найдем величину угла $B$ в треугольнике $ABC$. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, а по условию $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 30^\circ$, то:
$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

2. По условию, $BD$ — биссектриса угла $B$. Следовательно, она делит угол $B$ на два равных угла:
$\angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$ (угол $C$ прямой). В этом треугольнике $\angle DBC = 30^\circ$. Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В данном случае катет $CD$ лежит напротив угла $\angle DBC$, а гипотенуза — $BD$. Таким образом, мы получаем соотношение:
$CD = \frac{1}{2} BD$.

4. В условии задачи дано, что $BD + CD = 15$ см. Используя соотношение из предыдущего пункта, подставим $\frac{1}{2} BD$ вместо $CD$:
$BD + \frac{1}{2} BD = 15$
$\frac{3}{2} BD = 15$
$BD = 15 \cdot \frac{2}{3} = 10$ см.

5. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Мы знаем, что $\angle A = 30^\circ$ и $\angle ABD = 30^\circ$. Поскольку два угла в этом треугольнике равны, треугольник $ABD$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Значит, $AD = BD$.

6. Так как $AD = BD$ и мы нашли, что $BD = 10$ см, то и $AD$ равно 10 см.
Ответ: 10 см.