Номер 155, страница 48 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

155. На рисунке 127 хорда AC пересекает диаметр KP в точке M, $\angle ABM = \angle MEC = 90^\circ$, $\angle CME = 60^\circ$, $AC = 18$ см. Найдите отрезок BE.

Рис. 127

155. На рисунке 127 хорда AC пересекает диаметр KP в точке M, $\angle ABM = \angle MEC = 90^\circ$, $\angle CME = 60^\circ$, $AC = 18 \text{ см}$. Найдите отрезок BE.

Рис. 127

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ΔABM$ и $ΔCEM$ (углы $∠ABM$ и $∠MEC$ прямые по условию).

Углы $∠AMB$ и $∠CME$ являются вертикальными, поэтому они равны. Из условия известно, что $∠CME = 60°$, следовательно, $∠AMB = 60°$.

В прямоугольном треугольнике $ΔCEM$ катет $ME$ прилежит к углу $∠CME$. По определению косинуса:$cos(∠CME) = \frac{ME}{CM}$Отсюда получаем выражение для $ME$:$ME = CM \cdot cos(∠CME) = CM \cdot cos(60°)$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $ΔABM$ катет $BM$ прилежит к углу $∠AMB$. По определению косинуса:$cos(∠AMB) = \frac{BM}{AM}$Отсюда получаем выражение для $BM$:$BM = AM \cdot cos(∠AMB) = AM \cdot cos(60°)$

Длина искомого отрезка $BE$ равна сумме длин отрезков $BM$ и $ME$:$BE = BM + ME$Подставим полученные выражения для $BM$ и $ME$:$BE = AM \cdot cos(60°) + CM \cdot cos(60°)$

Вынесем общий множитель $cos(60°)$ за скобки:$BE = (AM + CM) \cdot cos(60°)$

Так как точка $M$ лежит на отрезке $AC$, то сумма $AM + CM$ равна длине всего отрезка $AC$. По условию $AC = 18$ см.$BE = AC \cdot cos(60°)$

Подставим числовые значения. Мы знаем, что $cos(60°) = \frac{1}{2}$.$BE = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

Ответ: 9 см.