Номер 162, страница 49 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

162. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 3 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых больше 5 см.

162. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 3 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых больше 5 см.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$, расстояние между которыми равно 3 см. Обозначим искомое геометрическое место точек (ГМТ) как $S$. Точка $M$ принадлежит $S$, если сумма расстояний от нее до прямых $a$ и $b$ (обозначим их $d_a$ и $d_b$ соответственно) больше 5 см. То есть, $d_a + d_b > 5$.

Вся плоскость делится прямыми $a$ и $b$ на три области. Рассмотрим каждую из них.

1. Точка $M$ находится в полосе между прямыми $a$ и $b$ (включая сами прямые). Для любой такой точки сумма расстояний до прямых $a$ и $b$ равна расстоянию между этими прямыми: $d_a + d_b = 3$ см. Так как неравенство $3 > 5$ является ложным, ни одна точка из этой области не принадлежит искомому ГМТ.

2. Точка $M$ находится в полуплоскости, ограниченной прямой $a$ и не содержащей прямую $b$. Пусть расстояние от $M$ до прямой $a$ равно $x$, то есть $d_a = x$, где $x > 0$. Тогда расстояние от $M$ до прямой $b$ будет равно $d_b = x + 3$. Сумма расстояний в этом случае составляет $d_a + d_b = x + (x+3) = 2x+3$. Условие $d_a + d_b > 5$ принимает вид $2x+3 > 5$, откуда $2x > 2$, и $x > 1$. Это означает, что точка $M$ должна находиться на расстоянии более 1 см от прямой $a$. Геометрически это открытая полуплоскость, ограниченная прямой $c$, параллельной $a$ и отстоящей от нее на 1 см в сторону, противоположную прямой $b$.

3. Точка $M$ находится в полуплоскости, ограниченной прямой $b$ и не содержащей прямую $a$. Пусть расстояние от $M$ до прямой $b$ равно $y$, то есть $d_b = y$, где $y > 0$. Тогда расстояние от $M$ до прямой $a$ будет равно $d_a = y + 3$. Сумма расстояний составляет $d_a + d_b = (y+3) + y = 2y+3$. Условие $d_a + d_b > 5$ принимает вид $2y+3 > 5$, откуда $2y > 2$, и $y > 1$. Это означает, что точка $M$ должна находиться на расстоянии более 1 см от прямой $b$. Геометрически это открытая полуплоскость, ограниченная прямой $d$, параллельной $b$ и отстоящей от нее на 1 см в сторону, противоположную прямой $a$.

Объединяя результаты, получаем, что искомое ГМТ состоит из двух открытых полуплоскостей.

Ответ: Искомое ГМТ — это объединение двух открытых полуплоскостей. Эти полуплоскости лежат вне полосы, образованной исходными прямыми. Границей одной полуплоскости является прямая, параллельная данным и удаленная на 1 см от первой из них (с внешней стороны полосы). Границей другой полуплоскости является прямая, параллельная данным и удаленная на 1 см от второй из них (также с внешней стороны).