Номер 166, страница 49 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

166. На рисунке 130 две окружности имеют общий центр O. Через точку A большой окружности проведены касательные AB и AC к меньшей окружности. Найдите радиус меньшей окружности, если радиус большей равен 8 см, а $\angle BAC = 60^\circ$.

Рис. 130

166. На рисунке 130 две окружности имеют общий центр $O$. Через точку $A$ большей окружности проведены касательные $AB$ и $AC$ к меньшей окружности. Найдите радиус меньшей окружности, если радиус большей равен 8 см, а $\angle BAC = 60^\circ$.

Рис. 130

Пусть $R$ — радиус большей окружности, а $r$ — радиус меньшей окружности. Центр обеих окружностей — точка $O$.

Точка $A$ лежит на большей окружности, следовательно, расстояние от центра $O$ до точки $A$ равно радиусу большей окружности. Таким образом, $OA = R = 8$ см.

Из точки $A$ к меньшей окружности проведены две касательные $AB$ и $AC$. Пусть $D$ — точка касания прямой $AB$ с меньшей окружностью. Проведем радиус $OD$ в точку касания. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Значит, $OD \perp AB$, и треугольник $\triangle ODA$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ODA$. Длина катета $OD$ равна радиусу меньшей окружности, то есть $OD = r$.

Отрезок $OA$, соединяющий центр окружности с точкой, из которой проведены касательные, является биссектрисой угла между этими касательными. По условию $\angle BAC = 60^{\circ}$, следовательно:

$\angle OAD = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ODA$. В нем известны гипотенуза $OA = 8$ см и острый угол $\angle OAD = 30^{\circ}$. Катет $OD$ (радиус $r$) лежит напротив этого угла.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. Поэтому:

$OD = \frac{1}{2} OA$

Подставим известные значения:

$r = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Ответ: 4 см.