Номер 165, страница 49 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

165. На рисунке 129 две окружности имеют общий центр O. К меньшей из них провели перпендикулярные касательные AB и CD, пересекающиеся в точке K. Найдите радиус меньшей окружности, если $AK = 2$ см, $BK = 6$ см.

165. На рисунке 129 две окружности имеют общий центр $O$. К меньшей из них провели перпендикулярные касательные $AB$ и $CD$, пересекающиеся в точке $K$. Найдите радиус меньшей окружности, если $AK = 2 \, \text{см}$, $BK = 6 \, \text{см}$.

Рис. 129

Пусть $r$ — радиус меньшей окружности, а $R$ — радиус большей окружности. Центр обеих окружностей находится в точке $O$.

Проведем из центра $O$ радиусы к точкам касания. Пусть $M$ — точка касания прямой $AB$ с меньшей окружностью, а $N$ — точка касания прямой $CD$ с меньшей окружностью.

Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $OM \perp AB$ и $ON \perp CD$.

Рассмотрим четырехугольник $OMKN$. В нем три угла прямые: $\angle OMK = 90^\circ$ (так как $OM \perp AB$), $\angle ONK = 90^\circ$ (так как $ON \perp CD$) и $\angle MKN = 90^\circ$ (по условию, $AB \perp CD$). Следовательно, $OMKN$ — прямоугольник.

Поскольку $OM$ и $ON$ являются радиусами одной и той же (меньшей) окружности, их длины равны: $OM = ON = r$. Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, является квадратом. Значит, четырехугольник $OMKN$ — квадрат, и все его стороны равны $r$, в том числе $MK = r$.

Теперь обратимся к большей окружности. Прямая $AB$ пересекает ее в точках $A$ и $B$, следовательно, отрезок $AB$ — это хорда большей окружности. Отрезок $OM$ перпендикулярен хорде $AB$ и выходит из центра окружности $O$.

По свойству хорды, перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Значит, точка $M$ является серединой хорды $AB$.

Длина хорды $AB$ складывается из длин отрезков $AK$ и $BK$:
$AB = AK + BK = 2 \text{ см} + 6 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Поскольку $M$ — середина $AB$, то:
$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ см}$.

Точки $A$, $K$ и $M$ лежат на одной прямой $AB$. Нам известны длины отрезков $AK = 2$ см и $AM = 4$ см. Так как $AK < AM$, точка $K$ находится между точками $A$ и $M$. Это позволяет нам записать следующее равенство:
$AM = AK + KM$.

Как мы установили ранее, $KM = r$ (как сторона квадрата $OMKN$). Подставим известные значения в полученное уравнение:
$4 = 2 + r$.

Из этого уравнения находим радиус $r$:
$r = 4 - 2 = 2 \text{ см}$.

Ответ: $2$ см.