Номер 171, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

171. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении $2:3$, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите основание треугольника, если его боковая сторона равна 15 см.

171. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении $2 : 3$, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите основание треугольника, если его боковая сторона равна $15$ см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$ — боковые стороны, а $AC$ — основание. По условию, боковая сторона равна 15 см, то есть $AB = BC = 15$ см.

Пусть вписанная в треугольник окружность касается боковой стороны $BC$ в точке $K$. По условию, эта точка делит сторону в отношении $2:3$, считая от вершины угла при основании, то есть от вершины $C$. Следовательно, отношение отрезков $CK$ к $KB$ равно $2:3$. $CK : KB = 2:3$.

Вся боковая сторона $BC$ состоит из этих двух отрезков: $BC = CK + KB$. Длина стороны $BC$ составляет $2+3=5$ частей. Найдем длину одной части: $15 \text{ см} / 5 = 3 \text{ см}$.

Теперь найдем длины каждого отрезка: $CK = 2 \times 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$. $KB = 3 \times 3 \text{ см} = 9 \text{ см}$.

Воспользуемся свойством касательных к окружности, проведенных из одной вершины: длины отрезков касательных от вершины до точек касания равны. Пусть вписанная окружность касается основания $AC$ в точке $M$. По этому свойству, отрезок касательной, проведенный из вершины $C$ к точке касания на основании $AC$, будет равен отрезку касательной, проведенному из той же вершины $C$ к точке касания на боковой стороне $BC$. То есть, $CM = CK = 6$ см.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Это означает, что точка касания $M$ вписанной окружности с основанием является его серединой. Следовательно, $AC = 2 \times CM$.

Найдем длину основания $AC$: $AC = 2 \times 6 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

Ответ: 12 см.