Номер 167, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

167. На рисунке 131 прямые $AE$, $AF$ и $BC$ касаются окружности в точках $E$, $F$ и $D$ соответственно. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AE = 5$ см.

Рис. 131

167. На рисунке 131 прямые $AE$, $AF$ и $BC$ касаются окружности в точках $E$, $F$ и $D$ соответственно. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AE = 5$ см.

Рис. 131

Для решения этой задачи воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки. Согласно этому свойству, отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны между собой.

Рассмотрим касательные, проведенные из вершин треугольника $A$, $B$ и $C$:

• Из точки $A$ проведены касательные $AE$ и $AF$. Следовательно, $AE = AF$.
• Из точки $B$ проведены касательные $BE$ и $BD$. Следовательно, $BE = BD$.
• Из точки $C$ проведены касательные $CF$ и $CD$. Следовательно, $CF = CD$.

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) — это сумма длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$

Распишем сторону $BC$ как сумму отрезков $BD + DC$: $P_{ABC} = AB + (BD + DC) + AC$

Теперь заменим отрезки $BD$ и $DC$ на равные им отрезки $BE$ и $CF$ соответственно: $P_{ABC} = AB + BE + CF + AC$

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $P_{ABC} = (AB + BE) + (AC + CF)$

Из рисунка видно, что сумма $AB + BE$ равна длине отрезка $AE$, а сумма $AC + CF$ равна длине отрезка $AF$. Таким образом, получаем: $P_{ABC} = AE + AF$

По условию задачи $AE = 5$ см. Так как $AE = AF$, то $AF = 5$ см. Найдем периметр: $P_{ABC} = 5 + 5 = 10$ см.

Ответ: 10 см.