Номер 163, страница 49 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

163. Прямая касается окружности с центром $O$ в точке $C$. На касательной по разные стороны от точки $C$ отметили точки $A$ и $B$ такие, что $CA = CB$. Найдите $OA$, если $OB = 9$ см.

163. Прямая касается окружности с центром $O$ в точке $C$. На касательной по разные стороны от точки $C$ отметили точки $A$ и $B$ такие, что $CA = CB$. Найдите $OA$, если $OB = 9$ см.

Рассмотрим треугольники $ \triangle OCA $ и $ \triangle OCB $.

Поскольку прямая, содержащая отрезок $AB$, касается окружности в точке $C$, а $OC$ является радиусом, проведенным в точку касания, то по свойству касательной радиус перпендикулярен касательной. Следовательно, $OC \perp AB$.

Это означает, что углы $ \angle OCA $ и $ \angle OCB $ являются прямыми, то есть $ \angle OCA = \angle OCB = 90^\circ $. Таким образом, треугольники $ \triangle OCA $ и $ \triangle OCB $ являются прямоугольными.

Сравним эти два треугольника:

1. $OC$ — общая сторона (общий катет).
2. $CA = CB$ (по условию задачи, второй катет).

Так как два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по признаку равенства прямоугольных треугольников по двум катетам).

Следовательно, $ \triangle OCA = \triangle OCB $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Гипотенуза $OA$ треугольника $ \triangle OCA $ соответствует гипотенузе $OB$ треугольника $ \triangle OCB $. Значит, $OA = OB$.

По условию задачи $OB = 9$ см, следовательно, $OA = 9$ см.

Ответ: 9 см.